Question

8．已知定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f（x）在（-∞，0]是減函數(shù)，若f（$\frac{1}{2}$）=0，則不等式f（log₄x）＜0的解集是（　　）

• A． （$\frac{1}{2}$，1）
• B． （$\frac{1}{2}$，2）
• C． （2，+∞）
• D． （$\frac{1}{2}$，1）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，解不等式即可．

解答 解：∵f（$\frac{1}{2}$）=0，
∴不等式f（log₄x）＜0等價(jià)為f（log₄x）＜f（$\frac{1}{2}$），
∵定義域?yàn)镽的偶函數(shù)f（x）在（-∞，0]上是減函數(shù)，
∴f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
則f（log₄x）＜f（$\frac{1}{2}$）等價(jià)為f（|log₄x|）＜f（$\frac{1}{2}$），
即|log₄x|＜$\frac{1}{2}$，
即-$\frac{1}{2}$＜log₄x＜$\frac{1}{2}$，
解得$\frac{1}{2}$＜x＜2，
即不等式的解集為（$\frac{1}{2}$，2），
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性之間的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．