Question

12．若向量$\overrightarrow a=（cosθ{，_{\;}}sinθ）$，$\overrightarrow b=（\sqrt{3}{，_{\;}}-1）$．
（1）若$\overrightarrow a⊥\overrightarrow{b，}$且$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，求θ的值；
（2）若θ∈[0，π]，求$|2\overrightarrow a-\overrightarrow b|$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知結(jié)合$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，列式求出tanθ，再結(jié)合θ的范圍求得θ值；
（2）展開$|2\overrightarrow a-\overrightarrow b{|^2}$，代入數(shù)量積求出$|2\overrightarrow a-\overrightarrow b{|^2}$的最大值，則$|2\overrightarrow a-\overrightarrow b|$的最大值可求．

解答 解：（1）由$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$，得$\overrightarrow a•\overrightarrow b=0$，
即：$\sqrt{3}cosθ-sinθ=0$，∴$tanθ=\sqrt{3}$，
∵$θ∈（0，\frac{π}{2}）$，
∴$θ=\frac{π}{3}$；
（2）∵$|\overrightarrow a|=1，|\overrightarrow b|=2$，
∴$|2\overrightarrow a-\overrightarrow b{|^2}$=$4|\overrightarrow a{|^2}+|\overrightarrow b{|^2}-4\overrightarrow a•\overrightarrow b$
=$4+4-4（\sqrt{3}cosθ-sinθ）$
=$8-8cos（θ+\frac{π}{6}）$，
∵θ∈[0，π]，
∴$θ+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，
∴當(dāng)$θ+\frac{π}{6}=π$，即$θ=\frac{5π}{6}$時(shí)，$|2\overrightarrow a-\overrightarrow b{|^2}_{max}=16$，
故$|2\overrightarrow a-\overrightarrow b|$的最大值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了數(shù)量積的坐標(biāo)表示，是中檔題．