Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的右頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與圓相切，與橢圓交于另一點(diǎn)，與右準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn).設(shè)直線(xiàn)的斜率為.

（1）用表示橢圓的離心率；

（2）若，求橢圓的離心率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意可得出直線(xiàn)的方程為，利用該直線(xiàn)與圓相切，得出圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑可得出，由此可計(jì)算出關(guān)于的關(guān)系式；

（2）設(shè)橢圓的焦距為，將直線(xiàn)的方程與橢圓的右準(zhǔn)線(xiàn)方程聯(lián)立，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，將直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由，結(jié)合（1）中的結(jié)論，可得出關(guān)于、的齊次等式，從而求出橢圓的離心率.

（1）直線(xiàn)的方程為，即，

因?yàn)橹本�(xiàn)與圓相切，所以，故.

所以橢圓的離心率；

（2）設(shè)橢圓的焦距為，則右準(zhǔn)線(xiàn)方程為，

由得，所以，

由得，

解得，則，

所以，

因?yàn)?/span>，所以，

即，

由（1）知，，所以，

所以，即，所以，故橢圓的離心率為.