【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A(-2,0),B(2,0)連線的斜率之積為-,記點(diǎn)P的軌跡為曲線C
(I)求曲線C的方程;
(II)若過(guò)點(diǎn)(-,0)的直線l與曲線C交于M,N兩點(diǎn),曲線C上是否存在點(diǎn)E使得四邊形OMEN為平行四邊形?若存在,求直線l的方程,若不存在,說(shuō)明理由
【答案】(Ⅰ)曲線C的方程為=1(x≠±2)(II)存在,直線l的方程為.
【解析】
(I)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為,直接把斜率之積為用坐標(biāo)表示出來(lái)即可;
(II)假設(shè)存在符合條件的點(diǎn),由題意知直線l的斜率不為零,同時(shí)設(shè)直線l的方程為,,把直線方程代入曲線方程,由韋達(dá)定理得,同時(shí)求得,而平行四邊形存在,則有,從而可得點(diǎn)坐標(biāo),再代入(I)中所求曲線方程可求得參數(shù)值,說(shuō)明假設(shè)正確.
解:(Ⅰ)設(shè)P(x,y),有·=-
得·=-
整理得=1(x≠±2)
∴曲線C的方程為=1(x≠±2)
(II)假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)E()由題意知直線l的斜率不為零
設(shè)直線l的方程為x=my-
點(diǎn)M坐標(biāo)為()、點(diǎn)N坐標(biāo)為()
由得:(+2)-2my-2=0,△>0
∴+
則+=-
由四邊形OMEN為平行四邊形,得到
∴E(-)
把點(diǎn)E坐標(biāo)代入曲線C的方程得:-4=0,解得
∴直線l的方程為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(Ⅰ)若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn),求實(shí)數(shù)的值及在內(nèi)的最小值;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求證:函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn),且.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)訄A經(jīng)過(guò)定點(diǎn),且與直線相切,設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線,分別與曲線交于,兩點(diǎn),直線,的斜率存在,且傾斜角互補(bǔ),證明:直線的斜率為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系有相同的長(zhǎng)度單位,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸.已知曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的極坐標(biāo)方程為,射線與曲線分別交異于極點(diǎn)的四點(diǎn).
(1)若曲線關(guān)于曲線對(duì)稱,求的值,并把曲線和化成直角坐標(biāo)方程;
(2)求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義實(shí)數(shù)a,b間的計(jì)算法則如下.
(1)計(jì)算;
(2)對(duì)的任意實(shí)數(shù)x,y,z,判斷與的大小,并說(shuō)明理由;
(3)寫出函數(shù),的解析式,作出該函數(shù)的圖象,并寫出該函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間和值域(只需要寫出結(jié)果).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某籃球隊(duì)對(duì)籃球運(yùn)動(dòng)員的籃球技能進(jìn)行統(tǒng)計(jì)研究,針對(duì)籃球運(yùn)動(dòng)員在投籃命中時(shí),運(yùn)動(dòng)員到籃筐中心的水平距離這項(xiàng)指標(biāo),對(duì)某運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了若干場(chǎng)次的統(tǒng)計(jì),依據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制如下頻率分布直方圖:
(I)依據(jù)頻率分布直方圖估算該運(yùn)動(dòng)員投籃命中時(shí),他到籃筐中心的水平距離的中位數(shù);
(II)在某場(chǎng)比賽中,考察他前4次投籃命中時(shí)到籃筐中心的水平距離的情況,并且規(guī)定:運(yùn)動(dòng)員投籃命中時(shí),他到籃筐中心的水平距離不少于4米的記1分,否則扣掉1分.用隨機(jī)變量X表示第4次投籃后的總分,將頻率視為概率,求X的分布列和均值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),函數(shù)為函數(shù)的反函數(shù).
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)若方程恰有一個(gè)實(shí)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)設(shè),若對(duì)任意,當(dāng)時(shí),滿足,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位:m3)和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù),得到頻數(shù)分布表如下:
未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表
日用 水量 | |||||||
頻數(shù) | 1 | 3 | 2 | 4 | 9 | 26 | 5 |
使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表
日用 水量 | ||||||
頻數(shù) | 1 | 5 | 13 | 10 | 16 | 5 |
(1)在答題卡上作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖:
(2)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后,日用水量小于0.35 m3的概率;
(3)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后,一年能節(jié)省多少水?(一年按365天計(jì)算,同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表.)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】橢圓C:的離心率為,其右焦點(diǎn)到橢圓C外一點(diǎn)的距離為,不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且線段AB的長(zhǎng)度為2.
1求橢圓C的方程;
2求面積S的最大值.
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