Question

8．已知變量x，y滿足$\left\{{\begin{array}{l}{1≤x+y≤3}\\{-1≤x-y≤1}\end{array}}$，若目標(biāo)函數(shù)z=2x+y取到最大值a，則函數(shù)y=$\frac{{{x^2}+a}}{{\sqrt{{x^2}+4}}}$的最小值為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 首先求出目標(biāo)函數(shù)取最大值時的a值，然后代入函數(shù)解析式求最小值．

解答 解：由不等式組得到區(qū)域如圖：所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為2×2+1=5，所以a=5；
函數(shù)y=$\frac{{{x^2}+a}}{{\sqrt{{x^2}+4}}}$=$\frac{{x}^{2}+5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+4}}+\sqrt{{x}^{2}+4}$，因?yàn)?\sqrt{{x}^{2}+4}≥2$，所以此函數(shù)為增函數(shù)，所以最小值為$\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$；
故選D．

點(diǎn)評 本題考查了簡單線性規(guī)劃問題以及函數(shù)的最值；注意：本題容易利用基本不等式求函數(shù)的最小值，導(dǎo)致錯誤．