Question

18．如圖，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分線，△ACD的外接圓⊙O交BC于點(diǎn)E，DF是⊙O的切線交BC于點(diǎn)F，且EC=3EF=3．
（Ⅰ）若E為BC的中點(diǎn)，BD=$\frac{7}{2}$，求DE的長；
（Ⅱ）求$\frac{DE}{DC}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)割線定理得BD•BA=BE•BC，進(jìn)行求解即可，
（Ⅱ）根據(jù)切割線定理知DF²=FE•FC，以及△DFE∽△CFD建立方程關(guān)系進(jìn)行求解．

解答 解：（Ⅰ）∵E為BC的中點(diǎn)，
∴BE=3，BC=6，
由割線定理得BD•BA=BE•BC，
則$\frac{7}{2}$•BA=18，
解得BA=$\frac{36}{7}$，AD=$\frac{23}{14}$，
∵CD是∠ACB的角平分線，
∴DE=AD=$\frac{23}{14}$．
（Ⅱ）∵DF是圓O的切線，D為切點(diǎn)，F(xiàn)C為圓O的割線，
由切割線定理知DF²=FE•FC=FE•（FE+EC），
∵EC=3EF，
∴DF²=4FE²，
即DF=2FE，
由△DFE∽△CFD得$\frac{DE}{DC}=\frac{EF}{DF}=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查與圓有關(guān)的比例線段的應(yīng)用，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意圓的性質(zhì)和切割線定理的合理運(yùn)用．