Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的離心率為e₁，

x2

a2

-

y2

b2

=-1的離心率為e₂．
（1）求證：

1

e12

+

1

e22

=1；      
（2）求e₁+e₂的最小值．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由于雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的離心率為e₁，

x2

a2

-

y2

b2

=-1的離心率為e₂．可得e₁=

1+ b2 a2

，e2=

1+ a2 b2

，
即可得出．
（2）由（1）可得

e

2 1

+

e

2 2

=

e

2 1

e

2 1

≤(

e1+e2

2

)4，化簡再利用基本不等式的性質即可得出．

解答： （1）證明：∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的離心率為e₁，

x2

a2

-

y2

b2

=-1的離心率為e₂．
∴e₁=

1+ b2 a2

，e2=

1+ a2 b2

，
∴

1

e12

+

1

e22

=

a2

a2+b2

+

b2

a2+b2

=1．
（2）由（1）可得

e

2 1

+

e

2 2

=

e

2 1

e

2 1

≤(

e1+e2

2

)4，

e

2 1

+

e

2 2

=2+

b2

a2

+

a2

b2

≥2+2

b2 a2 • a2 b2

=4，當且僅當a=b取等號．
∴

e1+e2

2

≥

2

，
∴e₁+e₂≥2

2

，即最小值為2

2

．

點評：本題考查了雙曲線的標準方程及其性質、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．