Question

已知以下4個(gè)命題：
①若p∨q為真命題，則p∧q為真命題；
②若p：?x∈R，x²-3x-2＜0，則￢q：?x∈R，x²-3x-2≥0；
③設(shè)a，b∈R，則a＞b是（a-1）|a|＞（b-1）|b|成立的充分不必要條件；
④若關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|1-2x|+|1+3x|＜a|x|無(wú)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，5]．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：閱讀型,不等式的解法及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：運(yùn)用復(fù)合命題的真假和真值表，即可判斷①；由全稱(chēng)性命題的否定為存在性命題，即可判斷②；
由充分必要條件的定義和特殊值比如a=

1

2

，b=

1

4

，即可判斷③；對(duì)x討論，x=0．x≠0，運(yùn)用分離參數(shù)，結(jié)合絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，求得最小值，即可判斷④．

解答： 解：對(duì)于①，若p∨q為真命題，則p，q中至少有一個(gè)為真，則p∧q不一定為真命題，則①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，若p：?x∈R，x²-3x-2＜0，則￢q：?x∈R，x²-3x-2≥0，則②正確；
對(duì)于③，設(shè)a，b∈R，當(dāng)a＞b，比如a=

1

2

，b=

1

4

，則（a-1）|a|=-

1

4

，（b-1）|b|=-

3

16

，
推出（a-1）|a|＜（b-1）|b|，則③錯(cuò)誤；
對(duì)于④，若關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|1-2x|+|1+3x|＜a|x|無(wú)解，當(dāng)x=0，2＜0無(wú)解，成立；
當(dāng)x≠0時(shí)，即有a＞|

1

x

-2|+|

1

x

+3|，由|

1

x

-2|+|

1

x

+3|≥|（

1

x

+3）-（

1

x

-2）|=5，
當(dāng)a≤5時(shí)，不等式|1-2x|+|1+3x|＜a|x|無(wú)解，則④正確．
綜上可得，②④正確．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查簡(jiǎn)易邏輯的基礎(chǔ)知識(shí)，主要考查復(fù)合命題的真假和命題的否定及充分必要條件的判斷，同時(shí)考查不等式的性質(zhì)和絕對(duì)值不等式的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．