分析 (Ⅰ)當(dāng)n=2時(shí),可得數(shù)列的首項(xiàng)為3,再將n換為n-1相減可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求得bn=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$-$\frac{1}{(2n+3)(2n+5)}$],運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和可得前n項(xiàng)和為T(mén)n,判斷單調(diào)性可得范圍,再由不等式恒成立思想可得m的范圍.
解答 解:(Ⅰ)當(dāng)n=2時(shí),S2+1=a2+4,
可得a1+a2+1=a2+4,即有a1=3,
由Sn+1=an+n2
當(dāng)n>1時(shí),Sn-1+1=an-1+(n-1)2,
兩式相減可得an=an-an-1+2n-1,
可得an-1=2n-1,即有an=2n+1,n>1.
對(duì)n=1也成立.
則{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+1;
(Ⅱ)bn=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{(2n+1)(2n+3)(2n+5)}$=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$-$\frac{1}{(2n+3)(2n+5)}$],
前n項(xiàng)和為T(mén)n=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{3•5}$-$\frac{1}{5•7}$+$\frac{1}{5•7}$-$\frac{1}{7•9}$+…+$\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}$-$\frac{1}{(2n+3)(2n+5)}$]
=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{15}$-$\frac{1}{(2n+3)(2n+5)}$],
可得數(shù)列{Tn}為遞增數(shù)列,即有T1=$\frac{1}{105}$為最小值,且Tn<$\frac{1}{60}$,
即有60<$\frac{1}{{T}_{n}}$≤105,
m$<\frac{1}{{T}_{n}}$<m+50對(duì)任意正整數(shù)n恒成立,可得
m≤60,且m+50>105,
解得55<m≤60.
點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法,注意運(yùn)用下標(biāo)變換相減法,考查數(shù)列的求和方法:裂項(xiàng)相消求和,以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,考查數(shù)列的單調(diào)性及運(yùn)用,屬于中檔題.
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