Question

9．已知數(shù)列{a_n}滿足S_n+1=a_n+n²
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}{a}_{n+2}}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，若m$＜\frac{1}{{T}_{n}}$＜m+50對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)n=2時(shí)，可得數(shù)列的首項(xiàng)為3，再將n換為n-1相減可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求得b_n=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$-$\frac{1}{（2n+3）（2n+5）}$]，運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和可得前n項(xiàng)和為T(mén)_n，判斷單調(diào)性可得范圍，再由不等式恒成立思想可得m的范圍．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n=2時(shí)，S₂+1=a₂+4，
可得a₁+a₂+1=a₂+4，即有a₁=3，
由S_n+1=a_n+n²
當(dāng)n＞1時(shí)，S_n-1+1=a_n-1+（n-1）²，
兩式相減可得a_n=a_n-a_n-1+2n-1，
可得a_n-1=2n-1，即有a_n=2n+1，n＞1．
對(duì)n=1也成立．
則{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n+1；
（Ⅱ）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}{a}_{n+2}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）（2n+5）}$=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$-$\frac{1}{（2n+3）（2n+5）}$]，
前n項(xiàng)和為T(mén)_n=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{3•5}$-$\frac{1}{5•7}$+$\frac{1}{5•7}$-$\frac{1}{7•9}$+…+$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$-$\frac{1}{（2n+3）（2n+5）}$]
=$\frac{1}{4}$[$\frac{1}{15}$-$\frac{1}{（2n+3）（2n+5）}$]，
可得數(shù)列{T_n}為遞增數(shù)列，即有T₁=$\frac{1}{105}$為最小值，且T_n＜$\frac{1}{60}$，
即有60＜$\frac{1}{{T}_{n}}$≤105，
m$＜\frac{1}{{T}_{n}}$＜m+50對(duì)任意正整數(shù)n恒成立，可得
m≤60，且m+50＞105，
解得55＜m≤60．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，注意運(yùn)用下標(biāo)變換相減法，考查數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，以及化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，考查數(shù)列的單調(diào)性及運(yùn)用，屬于中檔題．