Question

14．已知${a_1}=1，{a_n}+{a_{n+1}}={（{\frac{1}{2}}）^n}$，令T_n=a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n，類比教材中求等比數(shù)列的前n項和的方法，可得3T_n-2ⁿa_n=2n．

Answer 1

分析 通過T_n=a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n與2T_n=2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n相加可知3T_n=2a₁+2²（a₁+a₂）+2³（a₂+a₃）+…+2^n-1（a_n-1+a_n）+2ⁿa_n，進(jìn)而利用相鄰兩項和的關(guān)系代入計算即得結(jié)論．

解答 解：∵T_n=a₁+2a₂+2²a₃+…+2^n-1a_n，
∴2T_n=2a₁+2²a₂+2³a₃+…+2ⁿa_n，
兩式相加，得：3T_n=2a₁+2²（a₁+a₂）+2³（a₂+a₃）+…+2^n-1（a_n-1+a_n）+2ⁿa_n，
又∵${a_1}=1，{a_n}+{a_{n+1}}={（{\frac{1}{2}}）^n}$，
∴3T_n=2+2+2+…+2+2ⁿa_n=2n+2ⁿa_n，
∴3T_n-2ⁿa_n=2n，
故答案為：2n．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．