Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=2（S_n+1-S_n）S_n-n（S_n+1+S_n）（n∈N^*）．
（1）若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且b_n=0，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若a₁=1，a₂=3，且數(shù)列{a_2n-1}的，{a_2n}都是以2為公比的等比數(shù)列，求滿足不等式b_2n＜b_2n-1的所有正整數(shù)的n集合．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由b_n=2（S_n+1-S_n）S_n-n（S_n+1+S_n）（n∈N^*），得b_n=2a_n+1S_n-n（2S_n+a_n+1），由b_n=0，得(d2-d)n2+(3a1d-d2-2a1)n+2a12-a₁d-a₁=0對一切n∈N^*都成立，由此能求出a_n=0或a_n=n．
（2）由題意得a2n+1=2n-1，a2n=3×2n-1，S2n=2n-1+3(2n-1)=4×2ⁿ-4，從而推導(dǎo)出b_2n-b_2n-1=22n-1+8-2n(5n+

5

2

)，設(shè)f（n）=2ⁿ[

1

2

×2n-(5n+

5

2

)]+8，記g（n）=

1

2

×2n-(5n+

5

2

)，則g（n+1）-g（n）=

1

2

×2n-5，由此能求出滿足條件的正整數(shù)n的集合．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則a_n+1=a₁+nd，Sn=na1+

n(n-1)

2

d，
由b_n=2（S_n+1-S_n）S_n-n（S_n+1+S_n）（n∈N^*），
得b_n=2a_n+1S_n-n（2S_n+a_n+1），
∵b_n=0，∴2(a1+nd)[na1+

n(n-1)

2

d]-n[2na1+n(n-1)d+a1+nd]=0對一切n∈N^*都成立，
即(d2-d)n2+(3a1d-d2-2a1)n+2a12-a₁d-a₁=0對一切n∈N^*都成立，
令n=1，n=2，解得a₁=d=0或a₁=d=1，
經(jīng)檢驗，符合題意，
∴a_n=0或a_n=n．
（2）由題意得a2n+1=2n-1，a2n=3×2n-1，
S2n=2n-1+3(2n-1)=4×2ⁿ-4，
S_2n+1=S_2n-a_2n=4×2ⁿ-4-3×2ⁿ⁺¹=5×2^n-1-4，
b_2n=2a_2n+1S_2n-2n（2S_2n+a_2n+1）
=2×2ⁿ×（4×2ⁿ-4）-2n（8×2ⁿ-8+2ⁿ）
=2ⁿ⁺¹（2ⁿ⁺²-9n-4）+16n，
b_2n-1=2a_2nS_2n-1-（2n-1）（2S_2n-1+a_2n）
=6×2^n-1×（5×2^n-1-4）-（2n-1）（10×2^n-1-8+3×2^n-1）
=2^n-1（30×2^n-1-26n-11）+16n-8，
b_2n-b_2n-1=2ⁿ⁺¹（2ⁿ⁺²-9n-4）+16n-[2^n-1（30×2^n-1-26n-11）+16n-8]
=2n(2n-1-5n-

5

2

)+8
=22n-1+8-2n(5n+

5

2

)，
設(shè)f（n）=22n-1+8-2n(5n+

5

2

)，即f（n）=2ⁿ[

1

2

×2n-(5n+

5

2

)]+8，
記g（n）=

1

2

×2n-(5n+

5

2

)，
則g（n+1）-g（n）=

1

2

×2n+1-(5n+

15

2

)-

1

2

×2n+5n+

5

2

=

1

2

×2n-5，
當(dāng)n=1，2，3時，g（n+1）-g（n）＜0，
當(dāng)n∈N^*時，n≥4，g（n+1）-g（n）＜0，
∵n=1時，g（1）=-

13

2

＜0，∴g（4）＜0，且g（6）=-

1

2

＜0，g（7）=

53

2

＞0，
∴f（n）=2n[

1

2

×2n-(5n+

5

2

)]+8在n≥7（n∈N^*）時，是單調(diào)遞增函數(shù)，
f（1）=-5＜0，f（2）=-34＜0，f（3）=-100＜0，f（4）=-224＜0，
f（5）=-360＜0，f（6）=-24＜0，f（7）=3400＞0，
∴滿足條件的正整數(shù)n的集合為{1，2，3，4，5，6}．

點評：本題考查數(shù)列{a_n}的通項公式的求法，考查滿足不等式b_2n＜b_2n-1的所有正整數(shù)的n集合的求法，解題時要認真審題，注意構(gòu)造法的合理運用．