Question

【題目】已知橢圓的左、右頂點分別為，，左、右焦點分別為，，離心率為，點，為線段的中點．

（）求橢圓的方程．

（）若過點且斜率不為的直線與橢圓交于、兩點，已知直線與相交于點，試判斷點是否在定直線上？若是，請求出定直線的方程；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)點在定直線上.

【解析】

試題分析: （Ⅰ）求橢圓標準方程，一般方法為待定系數(shù)法，即根據(jù)條件建立關于的兩個獨立條件，再與聯(lián)立方程組，解出的值，（Ⅱ）先根據(jù)特殊直線或橢圓幾何性質(zhì)確定定直線，再根據(jù)條件證明點橫坐標為1.由題意設兩點坐標，用兩點坐標表示點橫坐標.根據(jù)直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，利用韋達定理得兩點坐標關系（用直線斜率表示），并代入點橫坐標表達式，化簡可得為定值.

試題解析: （Ⅰ）設點，由題意可知：，即 ①

又因為橢圓的離心率，即 ②

聯(lián)立方程①②可得：，則

所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）方法一：根據(jù)橢圓的對稱性猜測點是與軸平行的直線上．

假設當點為橢圓的上頂點時，直線的方程為，此時點 ，

則聯(lián)立直線和直線可得點

據(jù)此猜想點在直線上，下面對猜想給予證明：

設，聯(lián)立方程可得：

由韋達定理可得， （*）

因為直線，，

聯(lián)立兩直線方程得（其中為點的橫坐標）即證：，

即，即證

將（*）代入上式可得

此式明顯成立，原命題得證．所以點在定直線上上．

方法二：設，兩兩不等，

因為三點共線，所以，

整理得：

又三點共線，有： ①

又三點共線，有： ② 將①與②兩式相除得：

即，

將即代入得：

解得（舍去）或，所以點在定直線上．

方法三：顯然與軸不垂直，設的方程為，.

由得.

設，兩兩不等，

則，，

由三點共線，有： ①

由三點共線，有： ②

①與②兩式相除得：

解得（舍去）或，所以點在定直線上．