Question

【題目】已知拋物線(xiàn)（），過(guò)點(diǎn)（）的直線(xiàn)與交于、兩點(diǎn).

（1）若，求證：是定值（是坐標(biāo)原點(diǎn)）；

（2）若（是確定的常數(shù)），求證：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）若的斜率為1，且，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）定值為，證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；定點(diǎn)；（3）.

【解析】

（1）a時(shí)，設(shè)過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)l為x＝ty，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立消去x，得關(guān)于y的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出為定值；

（2）設(shè)出直線(xiàn)AB的方程為x＝ty+n，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立消去x，得關(guān)于y的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系得出y1y2的值，再由題意列出方程求出n的值，即可得出直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)；

（3）由題意寫(xiě)出直線(xiàn)AB的方程為y＝x﹣a，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立消去y，得關(guān)于x的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系以及判別式△＞0，即可求出a的取值范圍．

解：（1）當(dāng)a時(shí)，點(diǎn)M（，0），

設(shè)直線(xiàn)l：x＝ty，

由，消去x，得

y2﹣2pty﹣p2＝0，

所以y1y2＝﹣p2，

則x1x2；

x1x2+y1y2p2為定值；

（2）設(shè)直線(xiàn)AB：x＝ty+n，

由，消去x，得

y2﹣2pty﹣2pn＝0，

所以y1y2＝﹣2pn，

又y1y2＝m，則﹣2pn＝m，即n；

則直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)（，0）；

（3）由題意：直線(xiàn)AB的方程為：y＝x﹣a，

代入拋物線(xiàn)得：x2﹣2（a+p）x+a2＝0，

由△＝4（a+p）2﹣4a2＞0得：a；

x1+x2＝2（a+p），x1x2＝a2，

所以|AB||x1﹣x2|＝22p，

解得a；

所以a的取值范圍是（，]．