分析 (1)當(dāng)a=2時,f(x)=1+$\frac{3}{2}$log2x+$\frac{1}{2}$(log2x)2,令t=log2x,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)由題設(shè)條件,推導(dǎo)出=$\frac{1}{2}$(logax+$\frac{3}{2}$)2-$\frac{1}{8}$,設(shè)t=logax,則f(t)=$\frac{1}{2}$(t+$\frac{3}{2}$)2-$\frac{1}{8}$,利用二次函數(shù)的性質(zhì)能求出結(jié)果.
解答 解:(1)當(dāng)a=2時,f(x)=$\frac{1}{2}$log22x•log24x=$\frac{1}{2}$(1+log2x)(2+log2x)=1+$\frac{3}{2}$log2x+$\frac{1}{2}$(log2x)2,(x>0)
設(shè)t=log2x,f(t)=$\frac{1}{2}$t2+$\frac{3}{2}$t+1,
由二次函數(shù)性質(zhì)可知,當(dāng)t∈(-∞,-$\frac{3}{2}$),函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)t∈($\frac{3}{2}$,+∞)時,函數(shù)單調(diào)遞增,
∴當(dāng)log2x=-$\frac{3}{2}$,即x=$\frac{\sqrt{2}}{4}$,
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間(-∞,$\frac{\sqrt{2}}{4}$),單調(diào)遞減區(qū)間為($\frac{\sqrt{2}}{4}$,+∞);
(2)f(x)=$\frac{1}{2}$loga(ax)•loga(a2x),
=$\frac{1}{2}$(1+logax)(2+logax),
=1+$\frac{3}{2}$logax+$\frac{1}{2}$(logax)2,
=$\frac{1}{2}$(logax+$\frac{3}{2}$)2-$\frac{1}{8}$,
令t=logax,
則f(t)=$\frac{1}{2}$(t+$\frac{3}{2}$)2-$\frac{1}{8}$,
x∈[2,8]時,f(x)的最大值是1,最小值是-$\frac{1}{8}$,
∴l(xiāng)oga8≤loga8≤logax<0,
0<a<1,loga8≤t≤logax,
∴當(dāng)x=8時f(x)取最大值f(8)=$\frac{1}{2}$(8+$\frac{3}{2}$)2-$\frac{1}{8}$=1,
解得:loga8=-3或loga8=0(舍),
∴a=$\frac{1}{2}$.
點評 本題考查對數(shù)的運算性質(zhì),一元二次函數(shù)的性質(zhì),考查換元法的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中檔題.
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A. | $\frac{1}{10}$ | B. | $\frac{3}{10}$ | C. | $\frac{7}{10}$ | D. | $\frac{3}{5}$ |
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