Question

1．已知三條直線(xiàn)l₁：ax-y+a=0，l₂：x+ay-a（a+1）=0，l₃：（a+1）x-y+a+1=0，a＞0．
（1）證明：這三條直線(xiàn)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）求這三條直線(xiàn)圍成的三角形的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）分別求出直線(xiàn)l₁與l₃的交點(diǎn)A、l₁與l₂的交點(diǎn)B和l₂與l₃的交點(diǎn)C，且判斷三點(diǎn)的坐標(biāo)各不相同即可；
（2）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由AB⊥BC知點(diǎn)B在以AC為直徑的半圓上，除A、C點(diǎn)外；由此求出△ABC的面積最大值．

解答 解：（1）證明：直線(xiàn)l₁：ax-y+a=0恒過(guò)定點(diǎn)A（-1，0），
直線(xiàn)l₃：（a+1）x-y+a+1=0恒過(guò)定點(diǎn)A（-1，0），
∴直線(xiàn)l₁與l₃交于點(diǎn)A；
又直線(xiàn)l₂：x+ay-a（a+1）=0不過(guò)定點(diǎn)A，
且l₁與l₂垂直，必相交，設(shè)交點(diǎn)為B，則B（$\frac{-1}{{a}^{2}+1}$，$\frac{{a}^{3}}{{a}^{2}+1}$）；
l₂與l₃相交，交點(diǎn)為C（0，a+1）；
∵a＞0，∴三點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)不相同，
即這三條直線(xiàn)共有三個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）根據(jù)題意，畫(huà)出圖形如圖所示；

AB⊥BC，
∴點(diǎn)B在以AC為直徑的半圓上，除A、C點(diǎn)外；
則△ABC的面積最大值為
S=$\frac{1}{2}$•|AC|•$\frac{1}{2}$|AC|=$\frac{1}{4}$×（1+（a+1）²）=$\frac{1}{4}$a²+$\frac{1}{2}$a+$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線(xiàn)的交點(diǎn)與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了方程組與三角形面積的計(jì)算問(wèn)題，是中檔題．