Question

19．已知曲線f（x）=e^x-$\frac{1}{e^x}$與直線y=kx有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的最大值是（　　）

• A． -1
• B． 0
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由題意可得曲線和直線均過原點(diǎn)，判斷f（x）為奇函數(shù)且在R上遞增，當(dāng)直線y=kx與曲線相切，切點(diǎn)為（0，0），求得切線的斜率為2，討論k的變化，即可得到符合題意的k的最大值．

解答 解：由曲線f（x）=e^x-$\frac{1}{e^x}$與直線y=kx均過原點(diǎn)（0，0），
由f（-x）=e^-x-e^x=-（e^x-e^-x）=-f（x），
可得f（x）為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，
且f′（x）=e^x+e^-x＞0，f（x）在R上遞增，
由題意可得f（x）與直線y=kx有且僅有交點(diǎn)為（0，0），
當(dāng)直線y=kx與曲線相切，切點(diǎn)為（0，0），
切線的斜率為k=e⁰+e⁰=2，
當(dāng)k＜0時(shí)，顯然只有一個(gè)交點(diǎn)（0，0），
當(dāng)0≤k≤2時(shí)，顯然只有一個(gè)交點(diǎn)（0，0），
當(dāng)k＞2時(shí)，有3個(gè)交點(diǎn)．
則符合條件的k的最大值為2．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題．