Question

10．已知橢圓C：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$（b＞0），以橢圓C的短軸為直徑的圓O經(jīng)過橢圓C左右兩個焦點，A，B是橢圓C的長軸端點．
（1）求圓O的方程和橢圓C的離心率e；
（2）設(shè)P，Q分別是橢圓C和圓O上的動點（P，Q位于y軸兩側(cè)），且直線PQ與x軸平行，直線AP，BP分別與y軸交于點M，N，試判斷MQ與NQ所在的直線是否互相垂直，若是，請證明你的結(jié)論；若不是，也請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a=2，b=c，b²+c²=a²，解方程可得b，c，進而得到圓O的方程和橢圓的離心率；
（2）設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），Q（x_Q，y₀），分別代入圓和橢圓方程，運用直線方程的點斜式求得AP，BP的方程，令x=0，可得M，N的坐標，求得向量MQ，NQ的坐標，由向量垂直的條件：數(shù)量積為0，化簡整理，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由橢圓方程可得a=2，
又以橢圓C的短軸為直徑的圓O經(jīng)過橢圓C左右兩個焦點，
可得b=c且b²+c²=a²，
解得a=2，b=c=$\sqrt{2}$，
則圓O的方程為x²+y²=2，橢圓C的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）如圖所示，設(shè)P（x₀，y₀）（y₀≠0），Q（x_Q，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{x_0}^2}}{4}+\frac{{{y_0}^2}}{2}=1\\{x_Q}^2+{y_0}^2=2\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{x_0}^2=4-2{y_0}^2\\{x_Q}^2=2-{y_0}^2\end{array}\right.$，
又A（-2，0），B（2，0），由AP：$y=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（x+2）$，得$M（0，\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}+2}}）$．
由BP：$y=\frac{y_0}{{{x_0}-2}}（x-2）$，得$N（0，-\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}）$．
所以$\overrightarrow{QM}=（-{x_Q}，\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}+2}}-{y_0}）$=$（-{x_Q}，-\frac{{{x_0}{y_0}}}{{{x_0}+2}}）$，
$\overrightarrow{QN}=（-{x_Q}，-\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}-{y_0}）=（-{x_Q}，-\frac{{{x_0}{y_0}}}{{{x_0}-2}}）$，
所以$\overrightarrow{QM}•\overrightarrow{QN}={x_Q}^2+\frac{{{x_0}^2{y_0}^2}}{{{x_0}^2-4}}=2-{y_0}^2+\frac{{（4-2{y_0}^2）{y_0}^2}}{{-2{y_0}^2}}=0$，
所以QM⊥QN，即MQ與NQ所在的直線互相垂直．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要是離心率的求法，考查兩直線垂直的條件，轉(zhuǎn)化為兩向量垂直的條件：數(shù)量積為0是解題的關(guān)鍵，考查直線和圓方程的運用，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．