Question

1．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=1，S_n=na_n-n（n-1）（n=1，2，3，…）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列$\{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}\}$前n項(xiàng)和為T_n，問滿足${T_n}＞\frac{100}{209}$的最小正整數(shù)n是多少？

Answer 1

分析 （1）利用已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)列是等差數(shù)列，然后求解通項(xiàng)公式．
（2）化簡數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)消項(xiàng)法求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1），
得a_n-a_n-1=2（n=2，3，4，…）．
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．故a_n=2n-1．-------（6分）
（2）${T_n}=\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+…+\frac{1}{{{a_{n-1}}{a_n}}}$=$\frac{1}{1×3}+\frac{1}{3×5}+\frac{1}{5×7}+…+\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}$=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{1}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{7}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（{1-\frac{1}{2n+1}}）$=$\frac{n}{2n+1}$-------（10分）
由${T_n}=\frac{n}{2n+1}＞\frac{100}{209}$，得$n＞\frac{100}{9}$，
滿足${T_n}＞\frac{100}{209}$的最小正整數(shù)為12．-------（12分）

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)列求和，考查計(jì)算能力．