Question

17．已知函數(shù)f（x）=xe^x+ax²+2x+1在x=-1處取得極值．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x）-m-1在[-2，2]上恰有兩個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a的方程，求出a，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題等價于xe^x+x²+2x=m在[-2，2]上恰有兩個不同的實(shí)根．令g（x）=xe^x+x²+2x，求出函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最小值，從而求出m的范圍即可．

解答 解：（1）f'（x）=e^x+xe^x+2ax+2，
∵f（x）在x=1處取得極值，
∴f'（-1）=0，解得a=1．經(jīng)檢驗(yàn)a=1適合，
∴f（x）=xe^x+x²+2x+1，f'（x）=（x+1）（e^x+2），
當(dāng)x∈（-∞，-1）時，f'（x）＜0，∴f（x）在（-∞，-1）遞減；
當(dāng)x∈（-1+∞）時，f'（x）＞0，∴f（x）在（-1，+∞）遞增．
（2）函數(shù)y=f（x）-m-1在[-2，2]上恰有兩個不同的零點(diǎn)，
等價于xe^x+x²+2x-m=0在[-2，2]上恰有兩個不同的實(shí)根，
等價于xe^x+x²+2x=m在[-2，2]上恰有兩個不同的實(shí)根．
令g（x）=xe^x+x²+2x，∴g'（x）=（x+1）（e^x+2），
由（1）知g（x）在（-∞，-1）遞減；  在（-1，+∞）遞增．
g（x）在[-2，2]上的極小值也是最小值；
$g{（x）_{min}}=g（-1）=-\frac{1}{e}-1$．
又$g（-2）=-\frac{2}{e^2}$，g（2）=8+2e²＞g（-2），
∴$-\frac{1}{e}-1＜m≤-\frac{2}{e^2}$，即$m∈（-\frac{1}{e}-1，-\frac{2}{e^2}]$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．