Question

5．如圖，正方體AC₁中，已知O為AC與BD的交點，M為DD₁的中點．
（1）求異面直線B₁O與AM所成角的大�。�
（2）求二面角B₁-MA-C的正切值．

Answer 1

分析 （1）先證B₁O⊥MAC，證明直線與平面垂直，關(guān)鍵要找到兩條相交直線與之都垂直．有時候題目中沒有現(xiàn)成的直線與直線垂直，需要我們先通過直線與平面垂直去轉(zhuǎn)化一下，如欲證B₁O⊥AC，可以先證明AC⊥平面BB₁O，從而B₁O⊥AM；
（2）二面角的度量關(guān)鍵在于找出它的平面角，構(gòu)造平面角常用的方法就是三垂線法．

解答 解：（1）∵BB₁⊥平面ABCD，OB⊥AC，
∴B₁O⊥AC．設(shè)棱長為2
連接MO、MB₁，則MO=$\sqrt{3}$，B₁O=$\sqrt{6}$，MB₁=3．
∵MO²+B₁O²=MB₁²，∴∠MOB₁=90°．
∴B₁O⊥MO．
∵MO∩AC=O，∴B₁O⊥平面MAC．
∴B₁O⊥AM，
∴異面直線B₁O與AM所成角為90°；
（2）作ON⊥AM于點N，連接B₁N．
∵B₁O⊥平面MAC，∴AM⊥平面B₁ON．
∴B₁N⊥AM．
∴∠B₁NO就是二面角B₁-MA-C的平面角．
∵AM=$\sqrt{5}$，CM=$\sqrt{5}$，∴AM=CM．
又O為AC的中點，∴OM⊥AC．則ON=OAsin∠MAO=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{5}}$．
在Rt△B₁ON中，tan∠B₁NO=$\frac{{B}_{1}O}{ON}$=$\sqrt{5}$，
∴∠B₁NO=arctan$\sqrt{5}$，即所求二面角的大小為arctan$\sqrt{5}$．

點評 證明直線與直線垂直常用的方法有勾股定理、通過直線與平面垂直轉(zhuǎn)化，三垂線定理，其中在立體幾何證明垂直的問題中，三垂線定理應(yīng)用很多，本題的兩問都是三垂線定理的應(yīng)用實例．