Question

18．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）與函數(shù)g（x）=k（x-k）+6的部分圖象如圖所示，直線(xiàn)y=A與g（x）圖象相交于y軸，與f（x）相切于點(diǎn)N，向量$\overrightarrow{MN}$在x軸上投影的數(shù)量為-$\frac{3π}{4}$且A+ω=2k，則函數(shù)h（x）=sin（ωx-φ）+cos（ωx-φ）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸的方程可以為（　　）

• A． $\frac{11π}{-24}$
• B． $\frac{11π}{24}$
• C． $\frac{13π}{-24}$
• D． $\frac{7π}{24}$

Answer 1

分析 由條件以及函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式，再利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象的對(duì)稱(chēng)性，可得h（x）的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸的方程．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）與函數(shù)g（x）=k（x-k）+6的部分圖象如圖所示，
直線(xiàn)y=A與g（x）圖象相交于y軸，∴-k²+6=A，k＞0．
再根據(jù)向量$\overrightarrow{MN}$在x軸上投影的數(shù)量為-$\frac{3π}{4}$，可得 $\frac{3T}{4}$=$\frac{3}{4}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{3π}{4}$，∴ω=2．
結(jié)合A+ω=A+2=2k，可得k=2，A=2．
∴f（x）=2sin（2x+φ），g（x）=2（x-2）+6=2x+2．
再根據(jù)f（x）=2sin（2x+φ）的圖象位于y軸的右側(cè)且與x軸的第一個(gè)交點(diǎn)為（ $\frac{π}{12}$，0），
∴2•$\frac{π}{12}$+φ=0，∴φ=-$\frac{π}{6}$，
∴函數(shù)h（x）=sin（ωx-φ）+cos（ωx-φ）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+cos（2x+$\frac{π}{6}$）
=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{5π}{12}$），
令 2x+$\frac{5π}{12}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{24}$，k∈Z，
令k=-1，可得h（x）的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸的方程可以為x=-$\frac{11π}{24}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象得對(duì)稱(chēng)性，屬于中檔題．