Question

3．已知函數(shù)f（x）=1nx-a（x-1），g（x）=x-e^x-1，曲線y=f（x）與y=g（x）在x=1處的切線相同．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x≥1時(shí)，g（x）≤kf（x）恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（0）=g′（0），求出a的值，從而解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）先求出e^x-1≥x，設(shè)h（x）=g（x）-kf（x），根據(jù)放縮法以及函數(shù)的單調(diào)性通過討論k的范圍，求出k的具體范圍即可．

解答 解：（1）g′（x）=1-e^x-1，g′（1）=0，
故f′（x）=$\frac{1}{x}$-a，f′（1）=1-a=0，解得：a=1，
故f（x）=lnx-（x-1），x＞0，
f′（x）=$\frac{1-x}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＜1，
令f′（x）＜0，解得：x＞1，
故f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減；
（2）x≥1時(shí)，由（1）f（x）≤f（1）=0，
而g′（x）=1-e^x-1≤g′（1）=0，
故g（x）在[1，+∞）遞減，g（x）≤g（1）=0，故x≤e^x-1，
令h（x）=g（x）-kf（x）=（k+1）x-e^x-1-klnx-k，（x≥1），
則h′（x）=k+1-e^x-1-$\frac{k}{x}$≤k+1-x-$\frac{k}{x}$，
①k=1時(shí)，h′（x）≤0，h（x）在[1，+∞）遞減，
h（x）≤h（1）=0，成立；
②k＜0時(shí)，f（x）≤0，則kf（x）≥0，而g（x）≤0，不成立；
③0≤k＜1時(shí)，h′（x）=k+1-e^x-1-$\frac{k}{x}$，h″（x）=-e^x-1+$\frac{k}{{x}^{2}}$，h″（x）在[1，+∞）遞減，
而h″（1）=-1+k＜0，故h″（x）＜0，h′（x）遞減，
故h′（x）≤h′（1）=0，故h（x）在[1，+∞）遞減，
h（x）≤h（1）=0，成立；
④k＞1時(shí)，h″（1）＞0，h′（x）在[1，+∞）先遞增再遞減，
故h′（x）在[1，+∞）有2個(gè)零點(diǎn)，x=1，x=x₀，且x₀＞1，
故h（x）在[1，x₀）遞增，在（x₀，+∞）遞減，
故存在h（x₀）＞h（1）=0，不合題意；
綜上，k∈[0，1]．

點(diǎn)評 本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、不等式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識等，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想，是一道綜合題．