Question

【題目】已知關于x不等式x2﹣2mx+m+2<0（m∈R）的解集為M．

（1）當M為空集時，求m的取值范圍；

（2）在（1）的條件下，求的最大值；

（3）當M不為空集，且M [1，4]時，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 實數(shù)m的取值范圍為（﹣1，2）;(2) 的最小值為 ;(3) a的取值范圍為.

【解析】試題分析：

（1） 為空集時 ，由此求出 的取值范圍；
(2) 由（1）知 ，則 函數(shù)化為 ,利用基本不等式可求出其最大值

（3）設，討論M為空集和M不為空集時，利用判別式，結(jié)合圖象求出實數(shù)m的取值范圍．

試題解析：（1）∵M為空集，

∴△=4m2﹣4（m+2）＜0，即m2﹣m﹣2＜0

∴實數(shù)m的取值范圍為（﹣1，2）.

（2）由（1）知m∈（﹣1，2），則m+1>0，

∴f(m)=

即f(m)= 當且僅當，即時取等號.

所以

（3）令f（x）=x2﹣2ax+a+2=（x﹣a）2﹣a2+a+2，

當M不為空集時，由M[1，4]，得

．綜上，實數(shù)a的取值范圍為