Question

13．函數(shù)f（x）=-9x²+（24+m）x+11，集合M={t|t²+20t-156≤0}，對任意m∈M，都有 f（x）≥0成立，則實數(shù)x的取值范圍是[$-\frac{1}{3}$，1]．

Answer 1

分析 化簡集合M，令g（m）=mx-9x²+24x+11，由題意可得，對任意m∈M，都有g(shù)（m）≥0成立，即為g（m）≥0在[-26，6]上恒成立則g（-26）≥0，且g（6）≥0，由二次不等式的解法，即可得到x的范圍．

解答 解：集合M={t|t²+20t-156≤0}
={t|-26≤t≤6}，
令g（m）=mx-9x²+24x+11，
由題意可得，對任意m∈M，都有g(shù)（m）≥0成立，
即為g（m）≥0在[-26，6]上恒成立，
則g（-26）≥0，且g（6）≥0，
即為-9x²+（24-26）x+11≥0，且-9x²+（24+6）x+11≥0，
即有$-\frac{11}{9}$≤x≤1且$-\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{11}{3}$，
所以$-\frac{1}{3}$≤x≤1，
故實數(shù)x的取值范圍為[$-\frac{1}{3}$，1]．
故答案為：[$-\frac{1}{3}$，1]．

點評 此題是典型的不等式恒成立問題．構(gòu)造一次函數(shù)，并利用其單調(diào)性，是解題的關(guān)鍵．