Question

11．設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$a＞0）右焦點(diǎn)為F（c，0）（c＞0），方程ax²+bx-c=0的兩實(shí)根分別為x₁，x₂，則x₁²+x₂²的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{3}{2}$]
• B． （1，$\frac{3}{2}$]
• C． （1，$\frac{3}{4}$]
• D． （1，$\frac{7}{4}$]

Answer 1

分析 b≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$a＞0，可得$\frac{a}≥\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得0＜$e=\sqrt{1-（\frac{a}）^{2}}$≤$\frac{1}{2}$，再利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵b≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$a＞0，∴$\frac{a}≥\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴0＜$e=\sqrt{1-（\frac{a}）^{2}}$≤$\frac{1}{2}$
∵方程ax²+bx-c=0的兩實(shí)根分別為x₁，x₂，△＞0，
∴x₁+x₂=-$\frac{a}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{c}{a}$．
則x₁²+x₂²=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{x}_{1}{x}_{2}$=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}+\frac{2c}{a}$=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{{a}^{2}}$+2e=-e²+2e+1=-（e-1）²+2，
∵$0＜e≤\frac{1}{2}$，
∴x₁²+x₂²的取值范圍是$（1，\frac{7}{4}]$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．