Question

1．如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1的左、右焦點(diǎn)，A，B是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)M在直線l：x=-$\frac{1}{2}$上．
（1）若B的坐標(biāo)為（0，1），求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）求$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求得A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，解得y的值，可得A的縱坐標(biāo)，再根據(jù)中點(diǎn)公式求得M的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，易得$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$的值．當(dāng)AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)AB的斜率為k，M（-$\frac{1}{2}$，m），由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}{{+y}_{1}}^{2}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}{{+y}_{2}}^{2}=1}\end{array}\right.$可得 k=$\frac{1}{4m}$，可得AB的方程為y=$\frac{1}{4m}$x+$\frac{{8m}^{2}+1}{8m}$ ①．把①代入橢圓方程化簡(jiǎn)利用韋達(dá)定理，由判別式大于零，求得m²的范圍，化簡(jiǎn) $\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$ 為 $\frac{3{（8m}^{2}+1）+8}{8（1{+8m}^{2}）}$．令t=1+8m²，則1＜t＜8，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得 $\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=$\frac{1}{8}$[3t+$\frac{8}{t}$]的范圍．

解答 解：（1）∵B的坐標(biāo)為（0，1），且線段AB的中點(diǎn)M在直線l：x=-$\frac{1}{2}$上，
∴A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，
代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，解得y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故點(diǎn)A（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或點(diǎn)A（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
∴線段AB的中點(diǎn)M（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{4}$）或（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{4}$）．
（2）由于F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，AB的方程為x=-$\frac{1}{2}$，點(diǎn)A（-$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{\frac{7}{8}}$）、
B（-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{\frac{7}{8}}$），
求得$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=$\frac{11}{8}$．
當(dāng)AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)AB的斜率為k，M（-$\frac{1}{2}$，m），A（x₁，y₁ ），B （x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}{{+y}_{1}}^{2}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{2}{{+y}_{2}}^{2}=1}\end{array}\right.$可得 （x₁+x₂）+2（y₁+y₂）•$\frac{{y}_{1}{-y}_{2}}{{x}_{1}{-x}_{2}}$=0，∴-1=-4mk，即 k=$\frac{1}{4m}$，
故AB的方程為 y-m=$\frac{1}{4m}$（x+$\frac{1}{2}$），即 y=$\frac{1}{4m}$x+$\frac{{8m}^{2}+1}{8m}$ ①．
再把①代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，可得x²+x+$\frac{1}{4}$•$\frac{{（{8m}^{2}+1）}^{2}-6{4m}^{2}}{{8m}^{2}+1}$=0．
由判別式△=1-$\frac{{（{8m}^{2}+1）}^{2}-6{4m}^{2}}{{8m}^{2}+1}$＞0，可得0＜m²＜$\frac{7}{8}$．
∴x₁+x₂=-1，x₁•x₂=$\frac{{（{8m}^{2}+1）}^{2}-6{4m}^{2}}{{8m}^{2}+1}$，y₁•y₂=（$\frac{1}{4m}$•x₁+$\frac{{8m}^{2}+1}{8m}$ ）（$\frac{1}{4m}$x₂+$\frac{{8m}^{2}+1}{8m}$ ），
∴$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=（x₁-1，y₁ ）•（x₂-1，y₂）=x₁•x₂+y₁•y₂-（x₁+x₂）+1=$\frac{3{（8m}^{2}+1）+8}{8（1{+8m}^{2}）}$．
令t=1+8m²，則1＜t＜8，∴$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=$\frac{{3t}^{2}+8}{8t}$=$\frac{1}{8}$[3t+$\frac{8}{t}$]．
再根據(jù)$\frac{1}{8}$[3t+$\frac{8}{t}$]在（1，$\sqrt{\frac{8}{3}}$）上單調(diào)遞減，在（$\sqrt{\frac{8}{3}}$，8）上單調(diào)遞增求得$\frac{1}{8}$[3t+$\frac{8}{t}$]的范圍為[$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{25}{8}$）．
綜上可得，$\frac{1}{8}$[3t+$\frac{8}{t}$]的范圍為[$\frac{\sqrt{6}}{2}$，$\frac{25}{8}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查本題主要考查橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，直線和二次曲線的關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于難題．