Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{|x+3|-|x-1|+5}$．
（1）求函數(shù)f（x）的值域；
（2）若函數(shù)f（x）的值域是[m，n]，且a²+b²=m，c²+d²=n，求ac+bd的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）記g（x）=|x+3|-|x-1|+5，分類討論求得g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x≤-3}\\{2x+7，-3＜x＜1}\\{9，x≥1}\end{array}\right.$，從而求值域；
（2）由柯西不等式知（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²，從而求取值范圍．

解答 解：（1）記g（x）=|x+3|-|x-1|+5，
則g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，x≤-3}\\{2x+7，-3＜x＜1}\\{9，x≥1}\end{array}\right.$，
故g（x）∈[1，9]，
故f（x）∈[1，3]．
（2）由（1）知，a²+b²=1，c²+d²=3，
由柯西不等式知，
（a²+b²）（c²+d²）≥（ac+bd）²，
（當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí)，取等號(hào)；）
即（ac+bd）²≤3，
故-$\sqrt{3}$≤ac+bd≤$\sqrt{3}$，
故ac+bd的取值范圍為[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值函數(shù)的應(yīng)用及分類討論的思想方法應(yīng)用，同時(shí)考查了柯西不等式的應(yīng)用．