Question

12．已知各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列{a_n}滿足a_na_n+2=a_n+1²-t²（n∈N^*，t為常數(shù)）．
（1）設(shè){a_n}是首項為1的等差數(shù)列，當t=1時，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{a_n+t}是等比數(shù)列，求t的值；
（3）若a₂=a₁+t，求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）運用等差數(shù)列的性質(zhì)得出1+2d）=（1+d）²-1，d²=1，即d=1．分類求解即可得出通項公式．
（2）根據(jù)數(shù)列{a_n+t}是等比數(shù)列的定義得出：（a_n+1+t）²=（a_n+t）（a_n+2+t），化簡即可得出：t²+2ta_n+1=t（a_n+a_n+2），恒成立，即可求解t的值．
（3）先求解a₂=a₁+t，a₃=a₁+2t，a₄=a₁+3t，猜想得出a_n=a₁+（n-1）t，代入a_na_n+2=a_n+1²-t²（n∈N^*，t為常數(shù)）．證明等式成立，再運用等差數(shù)列定義證明即可．

解答 解：（1）∵a_na_n+2=a_n+1²-t²（n∈N^*，t為常數(shù)）．
∴a₁=1，t=1，a₁×a₃=a₂²-1，各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列{a_n}
（1+2d）=（1+d）²-1，d²=1，即d=1．
當d=1時，a_n=n，
（2）∵數(shù)列{a_n+t}是等比數(shù)列，
∴（a_n+1+t）²=（a_n+t）（a_n+2+t），
展開得出：a²_n+1+2ta_n+1+t²=a_na_n+2+t（a_n+a_n+2）+t²，
∵a_na_n+2=a_n+1²-t²（n∈N^*，t為常數(shù)）．a(chǎn)²_n+1=a_na_n+2+t²，
∴代入得出：t²+2ta_n+1=t（a_n+a_n+2），
t=0或t+2a_n+1=a_n+a_n+2，
∴若數(shù)列{a_n+t}是等比數(shù)列，實數(shù)t=0．
（3）∵a_na_n+2=a_n+1²-t²（n∈N^*，t為常數(shù)）．
∴a₁a₃=a₂²-t²，
∵a₂=a₁+t，
∴a₃=a₁+2t，
∵a₂a₄=a₃²-t²，
解得：a₄=a₁+3t，
猜想：a_n=a₁+（n-1）t，
即可得出：a_n+1=a₁+nt，a_n+2=a₁+（n+1）t，
∵a_na_n+2=[a₁+（n-1）t][a₁+（n+1）t]=a${\;}_{1}^{2}$+2na₁t+（n²-1）t²，
a_n+1²-t²=[a₁+nt]²-t²=a${\;}_{1}^{2}$+2na₁t+（n²-1）t²，
∴a_na_n+2=a_n+1²-t²（n∈N^*，t為常數(shù)）成立，符合題意．
∴a_n=a₁+（n-1）t，
∵a_n+1-a_n=a₁+nt-[a₁+（n-1）t]=t=常數(shù)．
∴數(shù)列{a_n}為公差為t的等差數(shù)列．

點評 本題數(shù)列的通項公式的求法，解題時要認真審題，準確靈活運用遞推關(guān)系式，猜想等思想求解證明，運算量大，屬于難題．