Question

3．設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x²+y²=1，則x+y的最大值是$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意，可令2x=cosα，y=sinα，α∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，運(yùn)用兩角和的正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域即可得到最大值．

解答 解：x，y為實(shí)數(shù)，若4x²+y²=1，
則可令2x=cosα，y=sinα，α∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，
即有x+y=$\frac{1}{2}$cosα+sinα=$\frac{\sqrt{5}}{2}$（$\frac{\sqrt{5}}{5}$cosα+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$sinα）
=$\frac{\sqrt{5}}{2}$sin（α+θ）（θ為第一象限角，tanθ=$\frac{1}{2}$），
當(dāng)α+θ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z時(shí)，sin（α+θ）取得最大值1，
則有x+y的最大值為$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓參數(shù)方程的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，屬于中檔題．