Question

2．設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)x∈R都有f（x-2）=f（x+2），且當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，若在區(qū)間（-2，6]內(nèi)關(guān)于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（　　）

• A． （1，2）
• B． （2，$\root{3}{12}$）
• C． （1，$\root{3}{4}$）
• D． （2，$\root{3}{10}$）

Answer 1

分析 由f（x）=-f（x+2），推出函數(shù)的周期是4，根據(jù)函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，得到函數(shù)f（x）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，利用方程和函數(shù)之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合確定滿足的條件即可得到結(jié)論．

解答 解：由f（x-2）=f（x+2），得f（x+4）=f（x），即函數(shù)f（x）的周期為4，
∵當(dāng)x∈[-2，0]時(shí)，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，
∴若x∈[0，2]，則-x∈[-2，0]
則f（-x）=$（\frac{1}{2}）^{-x}-1={2}^{x}-1$，
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（-x）=$（\frac{1}{2}）^{-x}-1={2}^{x}-1$=f（x），
即f（x）=2^x-1，x∈[0，2]，
由f（x）-log_a（x+2）=0得f（x）=log_a（x+2），
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：如0＜a＜1，函數(shù)g（x）=log_a（x+2）單調(diào)遞減，此時(shí)只有1個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件，（虛線圖象）．
當(dāng)a＞1時(shí)，要使方程f（x）-log_a（x+2）=0恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
則等價(jià)為函數(shù)f（x）與g（x）=log_a（x+2）有5個(gè)不同的交點(diǎn)，
則滿足A（6，3）在g（x）的上方，B（10，3）在g（x）的下方，
即$\left\{\begin{array}{l}{g（6）=lo{g}_{a}8＜3}\\{g（10）=lo{g}_{a}12＞3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{3}＞8}\\{{a}^{3}＜12}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a＜\root{3}{12}}\end{array}\right.$，解得，2＜a＜$\root{3}{12}$
故a的取值范圍是（2，$\root{3}{12}$），
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷，利用函數(shù)和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，利用分段函數(shù)的表達(dá)式，作出函數(shù)f（x）的圖象是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．