Question

10．若函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f（1-x）=-f（2-x），當0＜x＜1時，f（x）=2^x，則f（${log}_{\frac{1}{2}}$7）的值為-$\frac{7}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件求出函數(shù)的周期性，利用函數(shù)奇偶性和周期性的關系進行轉化求解即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f（1-x）=-f（2-x），
∴-f（x-1）=f（x-2），
即-f（x+1）=f（x），
則f（x+1）=-f（x），f（x+2）=f（x），
則函數(shù)的周期是2．
f（${log}_{\frac{1}{2}}$7）=f（-log₂7）=-f（log₂7），
∵2＜log₂7＜3，
∴0＜log₂7-2＜1，
即0＜log₂$\frac{7}{4}$＜1，
∵當0＜x＜1時，f（x）=2^x，
∴f（log₂$\frac{7}{4}$）=${2}^{lo{g}_{2}\frac{7}{4}}$=$\frac{7}{4}$，
故f（${log}_{\frac{1}{2}}$7）=-f（log₂7）=-$\frac{7}{4}$，
故答案為：-$\frac{7}{4}$

點評 本題主要考查函數(shù)值的計算，利用函數(shù)奇偶性和周期性的性質進行轉化是解決本題的關鍵．