Question

2．已知函數(shù)f（x）=alnx-bx²，a，b∈R．
（Ⅰ）若f（x）在x=1處與直線y=-$\frac{1}{2}$相切，求a，b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值；
（Ⅲ）若不等式f（x）≥x對(duì)所有的b∈（-∞，0]，x∈（e，e²]都成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由題意可得f（1）=-$\frac{1}{2}$，f′（1）=0，即可解得a，b的值；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到最大值；
（Ⅲ）由題意可得alnx-bx²≥x對(duì)所有的b∈（-∞，0]，x∈（e，e²]都成立，即alnx-x≥bx²對(duì)所有的b∈（-∞，0]，x∈（e，e²]都成立，即alnx-x≥0對(duì)x∈（e，e²]恒成立，即$a≥\frac{x}{lnx}$對(duì)x∈（e，e²]恒成立，求得右邊函數(shù)的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=\frac{a}{x}-2bx$．
由函數(shù)f（x）在x=1處與直線$y=-\frac{1}{2}$相切，
得$\left\{\begin{array}{l}f'（1）=0\\ f（1）=-\frac{1}{2}.\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}a-2b=0\\-b=-\frac{1}{2}.\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=\frac{1}{2}.\end{array}\right.$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$f（x）=lnx-\frac{1}{2}{x^2}$，定義域?yàn)椋?，+∞）．
此時(shí)$f'（x）=\frac{1}{x}-x$=$\frac{{1-{x^2}}}{x}$．
令f'（x）＞0，解得0＜x＜1，令f'（x）＜0，得x＞1．
所以f（x）在（$\frac{1}{e}$，1）上單調(diào)遞增，在（1，e）上單調(diào)遞減，
所以f（x）在$[\frac{1}{e}，e]$上的最大值為$f（1）=-\frac{1}{2}$；                   
（Ⅲ）若不等式f（x）≥x對(duì)所有的b∈（-∞，0]，x∈（e，e²]都成立，
即alnx-bx²≥x對(duì)所有的b∈（-∞，0]，x∈（e，e²]都成立，
即alnx-x≥bx²對(duì)所有的b∈（-∞，0]，x∈（e，e²]都成立，
即alnx-x≥0對(duì)x∈（e，e²]恒成立．　　　　　　　　　          
即$a≥\frac{x}{lnx}$對(duì)x∈（e，e²]恒成立，
即a大于或等于$\frac{x}{lnx}$在區(qū)間（e，e²]上的最大值．
令$h（x）=\frac{x}{lnx}$，則$h'（x）=\frac{lnx-1}{{{{（lnx）}^2}}}$，
當(dāng)x∈（e，e²]時(shí)，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，
所以$h（x）=\frac{x}{lnx}$，x∈（e，e²]的最大值為$h（{e^2}）=\frac{e^2}{2}$．
即$a≥\frac{e^2}{2}$．
所以a的取值范圍是$[\frac{e^2}{2}\;，\;+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式的恒成立問(wèn)題注意運(yùn)用參數(shù)分離和轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，屬于中檔題和易錯(cuò)題．