Question

11．已知離心率為$\frac{1}{2}$的橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），過點M（2，0），過點Q（1，0）的直線和橢圓C相交于A，B兩點，設點P（4，3），記PA，PB的斜率分別為k₁，k₂．
（1）求橢圓C的方程；
（2）探究k₁+k₂是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，求出k₁+k₂的范圍；
（3）探究k₁•k₂是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，求出k₁•k₂的范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，解得c=1，由a，b，c的關系，可得b，進而得到橢圓方程；
（2）設過Q（1，0）的直線為x=my+1，代入橢圓方程，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運用直線的斜率公式，結合A，B在直線上，化簡整理即可得到所求定值；
（3）運用直線的斜率公式，化簡整理可得$\frac{3}{4}$+$\frac{m}{2（1+{m}^{2}）}$，討論m=0，m＞0，m＜0，運用基本不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（1）由題意可得a=2，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
可得c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設過Q（1，0）的直線為x=my+1，代入橢圓方程，可得
（4+3m²）y²+6my-9=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可得
y₁+y₂=-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{9}{4+3{m}^{2}}$，
則k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-3}{{x}_{1}-4}$+$\frac{{y}_{2}-3}{{x}_{2}-4}$=$\frac{{y}_{1}-3}{m{y}_{1}-3}$+$\frac{{y}_{2}-3}{m{y}_{2}-3}$
=$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}+18-（3+3m）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+9-3m（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=$\frac{-18m+72+54{m}^{2}+18m+18{m}^{2}}{-9{m}^{2}+36+27{m}^{2}+18{m}^{2}}$
=$\frac{72（1+{m}^{2}）}{36（1+{m}^{2}）}$=2為定值
當直線為y=0時，可得A（-2，0），B（2，0），
k₁+k₂=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$=2成立；
（3）k₁k₂═$\frac{{y}_{1}-3}{{x}_{1}-4}$•$\frac{{y}_{2}-3}{{x}_{2}-4}$=$\frac{{y}_{1}-3}{m{y}_{1}-3}$•$\frac{{y}_{2}-3}{m{y}_{2}-3}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}+9-3（{y}_{1}+{y}_{2}）}{{m}^{2}{y}_{1}{y}_{2}+9-3m（{y}_{1}+{y}_{2}）}$
=$\frac{-9+36+27{m}^{2}+18m}{-9{m}^{2}+36+27{m}^{2}+18{m}^{2}}$=$\frac{27{m}^{2}+18m+27}{36（1+{m}^{2}）}$=$\frac{3}{4}$+$\frac{m}{2（1+{m}^{2}）}$，
由m=0，可得$\frac{m}{2（1+{m}^{2}）}$=0；當m＞0，可得$\frac{m}{2（1+{m}^{2}）}$=$\frac{1}{2（m+\frac{1}{m}）}$≤$\frac{1}{2•2}$=$\frac{1}{4}$，
當且僅當m=1，取得等號；
當m＜0，可得$\frac{m}{2（1+{m}^{2}）}$=$\frac{1}{2（m+\frac{1}{m}）}$≥-$\frac{1}{2•2}$=-$\frac{1}{4}$，（當且僅當m=-1時，取得等號），
即有$\frac{3}{4}$+$\frac{m}{2（1+{m}^{2}）}$∈[$\frac{1}{2}$，1]．
則k₁•k₂的范圍為[$\frac{1}{2}$，1]．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和直線的斜率公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．