Question

6．已知圓x²+y²=17在點(diǎn)（1，4）處的切線與冪函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線垂直，且不等式$\frac{f（x）}{x}$＞ax²+x在（1，2）上能成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． [0，+∞）
• B． （$\frac{35}{6}$，+∞）
• C． （-∞，0]
• D． （-∞，$\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 設(shè)出冪函數(shù)f（x），求出導(dǎo)數(shù)，由f′（1）=4，求得f（x），則不等式$\frac{f（x）}{x}$＞ax²+x在（1，2）上能成立，即為a＜x-$\frac{1}{x}$在（1，2）上恒成立，求得右邊函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，求出值域，即可得到a的范圍．

解答 解：設(shè)冪函數(shù)f（x）=xⁿ，則f′（x）=nx^n-1，
∵圓x²+y²=17在點(diǎn)（1，4）處的切線與冪函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線垂直，
∴冪函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線斜率為4，
則有n=4，
即有f（x）=x⁴，
∵不等式$\frac{f（x）}{x}$＞ax²+x在（1，2）上能成立，
∴不等式x³＞ax²+x在（1，2）上恒成立，
即為a＜x-$\frac{1}{x}$在（1，2）上恒成立，
由于在（1，2）上，x-$\frac{1}{x}$的導(dǎo)數(shù)1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，即有（1，2）為增區(qū)間，
即有0＜x-$\frac{1}{x}$＜$\frac{3}{2}$，
則有a≤0．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，考查不等式恒成立思想轉(zhuǎn)化為求最值或值域問題，考查函數(shù)的單調(diào)性和應(yīng)用，屬于中檔題和易錯(cuò)題．