Question

已知函數(shù)(是常數(shù))在處的切線方程為，且.
（1）求常數(shù)的值；
（2）若函數(shù)()在區(qū)間內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1），，（2）

試題分析：（1）在處的切線切線斜率為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，將代入切線方程可得即又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824052626484473.png" style="vertical-align:middle;" />，解以上三個(gè)方程組成的方程組可得的值。（2）由（1）可知函數(shù)的解析式，從而可得函數(shù)解析式。將其求導(dǎo)可得，令，可將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在內(nèi)有極值，即應(yīng)有2個(gè)根（判別式應(yīng)大于0），但在內(nèi)至少有一個(gè)根（故應(yīng)分兩種情況討論）。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824052626905669.png" style="vertical-align:middle;" />，所以在內(nèi)有一個(gè)根時(shí)應(yīng)有，在內(nèi)有兩個(gè)根時(shí)應(yīng)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824052626905669.png" style="vertical-align:middle;" />，則且頂點(diǎn)縱坐標(biāo)小于0
（1）由題設(shè)知，的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824052627077525.png" style="vertical-align:middle;" />,,
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824052627061463.png" style="vertical-align:middle;" />在處的切線方程為，
所以,且，即,且,
又 ，解得，， 
（2）由（Ⅰ）知
因此， 
所以 
令.
（�。┊�(dāng)函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)極值時(shí)，在內(nèi)有且僅有一個(gè)根，即在內(nèi)有且僅有一個(gè)根，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824052627514622.png" style="vertical-align:middle;" />，當(dāng)，即時(shí)，在內(nèi)有且僅有一個(gè)根，當(dāng)時(shí)，應(yīng)有，即，解得，所以有.
（ⅱ）當(dāng)函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)極值時(shí)，在內(nèi)有兩個(gè)根，即二次函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)不等根，
所以，解得.   
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是