Question

已知函數(shù)f（x）=cosx（sinx+cosx）-

1

2

．
（Ⅰ）若sinα=

5

5

，且

π

2

＜α＜π，求f（α）的值；
（Ⅱ）當(dāng)f（x）取得最小值時(shí)，求自變量x的集合．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得cosα的值，代入要求的式子化簡(jiǎn)可得；（Ⅱ）化簡(jiǎn)可得f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

），可得當(dāng)2x+

π

4

=2kπ-

π

2

，k∈Z，時(shí)滿足題意，變形可得x的集合．

解答： 解：（Ⅰ）∵sinα=

5

5

，且

π

2

＜α＜π，
∴cosα=-

1-sin2α

=-

2 5

5

，
∴f（α）=cosα（sinα+cosα）-

1

2

=-

2 5

5

×（

5

5

-

2 5

5

）-

1

2

=-

1

10

；
（Ⅱ）化簡(jiǎn)可得f（x）=sinxcosx+cos²x-

1

2

=

1

2

sin2x+

1+cos2x

2

-

1

2

=

1

2

sin2x+

1

2

cos2x
=

2

2

sin（2x+

π

4

）
當(dāng)2x+

π

4

=2kπ-

π

2

，k∈Z，即x=kπ-

3π

8

，k∈Z時(shí)，f（x）取得最小值-

2

2

，
此時(shí)自變量x的集合為{x|x=kπ-

3π

8

，k∈Z}

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)恒等變換，涉及三角函數(shù)的最值和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．