Question

18．已知sinαcosβ=$\frac{1}{4}$，則cosαsinβ的取值范圍[-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 利用兩角和差的正弦公式建立不等式關(guān)系進行求解即可．

解答 解：∵sinαcosβ=$\frac{1}{4}$，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{1}{4}$+sinβcosα
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=$\frac{1}{4}$-sinβcosα
∵-1≤sin（α+β）≤1，-1≤sin（α-β）≤1．
∴-1≤$\frac{1}{4}$+sinβcosα≤1，-1≤$\frac{1}{4}$-sinβcosα≤1，
即--$\frac{5}{4}$≤sinβcosα≤$\frac{3}{4}$，且-$\frac{3}{4}$≤sinβcosα≤$\frac{5}{4}$，
綜上-$\frac{3}{4}$≤sinβcosα≤$\frac{3}{4}$，
故答案為：[-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{4}$]．

點評 本題考查三角函數(shù)值的取值范圍，利用兩角和與差的正弦公式是解決本題的關(guān)鍵．，解題時要認真審題，仔細解答，注意三角函數(shù)的恒等變換．