Question

3．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量表得到如下頻數(shù)分布表．

質(zhì)量指標(biāo)值分組	[75，85）	[85，95）	[95，105）	[105，115）	[115，125]
頻數(shù)	6	26	x	22	8

（1）作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖（用陰影表示）；

（2）統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表，據(jù)此估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)$\overline{x}$及方差s²；
（3）當(dāng)質(zhì)量指標(biāo)值位于（79.6，120.4）時(shí)，認(rèn)為該產(chǎn)品為合格品．由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N（μ，σ²），其中μ近似為樣本平均數(shù)$\overline{x}$，σ²近似為樣本方差s²（每組數(shù)取中間值）．
①利用該正態(tài)分布，求從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，該產(chǎn)品為合格品的概率；
②該企業(yè)每年生產(chǎn)這種產(chǎn)品10萬(wàn)件，生產(chǎn)一件合格品利潤(rùn)10元，生產(chǎn)一件不合格品虧損20元，則該企業(yè)的年利潤(rùn)是多少？
（提示：$\sqrt{104}$≈10.2，若Z～N（μ，σ²），則P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544）

Answer 1

分析 （1）由已知作出頻率分布表，由此能作出作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；
（2）求出質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)、質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差；
（3）運(yùn)用離散型隨機(jī)變量的期望和方差公式，即可求出；
①由（2）知Z～N（100，104），從而求出P（79.6＜Z＜120.4），注意運(yùn)用所給數(shù)據(jù)；
②設(shè)這種產(chǎn)品每件利潤(rùn)為隨機(jī)變量E（X），即可求得EX．

解答 解：（1）由頻率分布表作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖為：
（2）質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為：
$\overline{x}$=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100．
質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為
S²=（-20）²×0.06+（-10）²×0.26+0×0.38+10²×0.22+20²×0.08=104．
（3）①由（2）知Z～N（100，104），從而P（79.6＜Z＜120.4）=P（100-2×10.2＜Z＜100+2×10.2）=0.9544；
②由①知一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間（79.6，120.4）的概率為0.9544，
該企業(yè)的年利潤(rùn)是EX=100000[0.9544×10-（1-0.9544）×20]=863200．

點(diǎn)評(píng) 本題考查頻率分布直方圖的作法，考查平均數(shù)、方差的求法，以及正態(tài)分布的特點(diǎn)及概率求解，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．