Question

設x，y滿足條件

x-y+2≥0 3x-y-6≤0 x≥0，y≥0

，若目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為12，則

3

a

+

2

b

的最小值為（　�。�

• A．

  25

  6

• B．

  8

  3

• C．

  11

  3

• D．4

Answer 1

分析：先根據條件畫出可行域，設z=ax+by，再利用幾何意義求最值，將最大值轉化為y軸上的截距，只需求出直線z=ax+by，過可行域內的點（4，6）時取得最大值，從而得到一個關于a，b的等式，最后利用基本不等式求最小值即可．

解答：解：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，
當直線ax+by=z（a＞0，b＞0）過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點（4，6）時，目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，
∴4a+6b=12，即2a+3b=6，
∴

3

a

+

2

b

=（

3

a

+

2

b

）×

2a+3b

6

=

1

6

（12+

9b

a

+

4a

b

）≥4
當且僅當

9b

a

=

4a

b

時，

3

a

+

2

b

的最小值為4
故選D．

點評：本題考查了基本不等式在最值問題中的應用、簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，確定a，b的關系是關鍵．