Question

已知等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1．a(chǎn)₁，a₃是方程x³-3x+2=0的兩根．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{2n•a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）由方程x²-3x+2=0，解得x=1，2，由于等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1．a(chǎn)₁，a₃是方程x³-3x+2=0的兩根．可得a₁=1，a₃=2．再利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（II）2n•a_n=2n•(

2

)n-1，再利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（I）由方程x²-3x+2=0，解得x=1，2，
∵等比數(shù)列{a_n}的公比q＞1．a(chǎn)₁，a₃是方程x³-3x+2=0的兩根．
∴a₁=1，a₃=2．
∴2=1×q²，
解得q=

2

，
∴an=(

2

)n-1．
（II）2n•a_n=2n•(

2

)n-1，
∴S_n=2+2×2×

2

+2×3×(

2

)2+…+2n×(

2

)n-1，

2

Sn=2

2

+2×2(

2

)2+…+2(n-1)×(

2

)n-1+2n(

2

)n，
∴(1-

2

)Sn=2+2[

2

+(

2

)2+…+(

2

)n-1]-2n(

2

)n=2+2×

2 [( 2 )n-1-1]

2 -1

-2n(

2

)n，
∴S_n=6+4

2

+2[(

2

+1)n-3-2

2

](

2

)n．

點評：本題考查了“錯位相減法”、等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．