Question

1．拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，A為C上異于原點的任意一點，過A的直線l交C于另一點B，交x軸的正半軸于點D，有|FA|=|FD|，又直線l₁∥l，且l₁與C有唯一公共點E．
（1）證明：直線AE過x軸上一定點，并求出定點的坐標(biāo)；
（2）△ABE的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線C：y²=2px（p＞0）可得焦點F$（\frac{p}{2}，0）$，設(shè)A（x₀，y₀）（x₀，y₀≠0），D（x_D，0）（x_D＞0），由于|FA|=|FD|，可得$|{x}_{D}-\frac{p}{2}|={x}_{0}+\frac{p}{2}$，由x_D＞0，可得D（x₀+p，0）．直線AB的斜率為k_AB=$-\frac{{y}_{0}}{p}$．由于直線l₁∥l，可設(shè)直線l₁的方程為：$y=-\frac{{y}_{0}}{p}x+m$，與拋物線方程聯(lián)立可化為$\frac{{y}_{0}}{2{p}^{2}}{y}^{2}+y-m=0$，由△=0，可得m=-$\frac{{p}^{2}}{2{y}_{0}}$．得到y(tǒng)_E=$-\frac{{p}^{2}}{{y}_{0}}$，x_E=$\frac{{p}^{3}}{2{y}_{0}^{2}}$，利用斜率計算公式可得k_AE=k_AF，即可得出．
（II）由（I）可知：直線AE過焦點F$（\frac{p}{2}，0）$．可得|AE|=|AF|+|FE|=${x}_{0}+\frac{{p}^{2}}{4{x}_{0}}+p$，設(shè)直線AE的方程為x=ty+$\frac{p}{2}$，可得t=$\frac{{x}_{0}-\frac{p}{2}}{{y}_{0}}$，設(shè)B（x₁，y₁），直線AB的方程為：$y-{y}_{0}=-\frac{{y}_{0}}{p}（x-{x}_{0}）$，代入拋物線方程可得：${y}_{1}=-{y}_{0}-\frac{2{p}^{2}}{{y}_{0}}$，x₁=${x}_{0}+2p+\frac{{p}^{2}}{{x}_{0}}$，再利用點到直線的距離公式可得S_△ABE=$\frac{1}{2}|AB|•d$=$\sqrt{2p}$$（{x}_{0}+\frac{{p}^{2}}{4{x}_{0}}+p）^{\frac{3}{2}}$，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 （1）證明：由拋物線C：y²=2px（p＞0）可得焦點F$（\frac{p}{2}，0）$，
設(shè)A（x₀，y₀）（x₀，y₀≠0），D（x_D，0）（x_D＞0），
∵|FA|=|FD|，
∴$|{x}_{D}-\frac{p}{2}|={x}_{0}+\frac{p}{2}$，由x_D＞0，可得x_D=x₀+p，因此D（x₀+p，0），
∴直線AB的斜率為k_AB=$-\frac{{y}_{0}}{p}$．
∵直線l₁∥l，
∴可設(shè)直線l₁的方程為：$y=-\frac{{y}_{0}}{p}x+m$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{{y}_{0}}{p}x+m}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，化為$\frac{{y}_{0}}{2{p}^{2}}{y}^{2}+y-m=0$，
由△=0，可得m=-$\frac{{p}^{2}}{2{y}_{0}}$．
則y_E=$-\frac{{p}^{2}}{{y}_{0}}$，x_E=$\frac{{p}^{3}}{2{y}_{0}^{2}}$，
當(dāng)${y}_{0}^{2}≠{p}^{2}$時，k_AE=$\frac{{y}_{E}-{y}_{0}}{{x}_{E}-{x}_{0}}$=$\frac{2p{y}_{0}}{{y}_{0}^{2}-{p}^{2}}$=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-\frac{p}{2}}$=k_AF，
因此直線AE過焦點F$（\frac{p}{2}，0）$．
（II）由（I）可知：直線AE過焦點F$（\frac{p}{2}，0）$．
∴|AE|=|AF|+|FE|=${x}_{0}+\frac{{p}^{2}}{4{x}_{0}}+p$，
設(shè)直線AE的方程為x=ty+$\frac{p}{2}$，∵點A在直線AE上，
∴t=$\frac{{x}_{0}-\frac{p}{2}}{{y}_{0}}$，
設(shè)B（x₁，y₁），直線AB的方程為：$y-{y}_{0}=-\frac{{y}_{0}}{p}（x-{x}_{0}）$，
由y₀≠0，可得x=$-\frac{p}{{y}_{0}}y+p+{x}_{0}$，代入拋物線方程可得：${y}_{1}=-{y}_{0}-\frac{2{p}^{2}}{{y}_{0}}$，x₁=${x}_{0}+2p+\frac{{p}^{2}}{{x}_{0}}$，
故點B到直線AE的距離d=$\frac{|\frac{{p}^{2}}{{x}_{0}}+{x}_{0}+2p+t（{y}_{0}+\frac{2{p}^{2}}{{y}_{0}}）-\frac{p}{2}|}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$=$2\sqrt{2p}$$\sqrt{{x}_{0}+\frac{{p}^{2}}{4{x}_{0}}+p}$，
則S_△ABE=$\frac{1}{2}|AB|•d$=$\frac{1}{2}（{x}_{0}+\frac{{p}^{2}}{4{x}_{0}}+p）$$•2\sqrt{2p}$$\sqrt{{x}_{0}+\frac{{p}^{2}}{4{x}_{0}}+p}$=$\sqrt{2p}$$（{x}_{0}+\frac{{p}^{2}}{4{x}_{0}}+p）^{\frac{3}{2}}$≥4p²，當(dāng)且僅當(dāng)${x}_{0}=\frac{p}{2}$時取等號，
因此△ABE的面積存在最小值為4p²．

點評 本題考查了拋物線的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系及交點坐標(biāo)、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．