Question

已知函數f（x）=

1-x

ax

+lnx；
（1）當a=1時，若直線y=b與函數y=f（x）的圖象在[

1

2

，2]上有兩個不同交點，求實數b的取值范圍；
（2）若函數f（x）在[1，+∞）上為增函數，求正實數a的取值范圍；
（3）求證：對大于1的任意正整數n，lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．

Answer 1

考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,證明題,導數的綜合應用,不等式

分析：（1）a=1時，f（x）=

1-x

x

+lnx，x＞0，fˊ（x）=

x-1

x2

，由導數的正負確定函數的單調性，從而求實數b的取值范圍；
（2）函數f（x）在[1，+∞）上為增函數可化為f′（x）=

ax-1

ax2

≥0對x∈[1，+∞）恒成立；從而求a；
（3）由f（x）=

1-x

x

+lnx在[1，+∞）上為增函數可證明ln

n

n-1

＞1-

1

n n-1

=

1

n

，從而證明不等式．

解答： 解：（1）a=1時，f（x）=

1-x

x

+lnx，x＞0，
fˊ（x）=

x-1

x2

，令fˊ（x）=0得x=1；
當x變化時，f（x），f′（x）的變化情況如下表：

x	1 2	（ 1 2 ，1）	1	（1，2）	2
fˊ（x）		-	0	+
f（x）	1-ln2	單調遞減	0	單調遞增	ln2- 1 2

∵1-ln2-（ln2-

1

2

）=

3

2

-2ln2=lne

3

2

-ln4＞0，
∴b的取值范圍為（0，ln2-

1

2

]；
（2）∵f（x）=

1-x

ax

+lnx，∴f′（x）=

ax-1

ax2

（a＞0）；
∵函數f（x）在[1，+∞）上為增函數，
∴f′（x）=

ax-1

ax2

≥0對x∈[1，+∞）恒成立；
既ax-1≥0對x∈[1，+∞）恒成立，
即a≥

1

x

對x∈[1，+∞）恒成立；
∴a≥1；
（3）證明：當a=1時，f（x）=

1-x

x

+lnx，x＞0，
fˊ（x）=

x-1

x2

，
故f（x）在[1，+∞）上為增函數．
∴f（x）≥f（1）=0，
∴

1

x

-1+lnx≥0，
∴l(xiāng)nx≥1-

1

x

，
當n＞1時，則

n

n-1

＞1，
∴l(xiāng)n

n

n-1

＞1-

1

n n-1

=

1

n

；
∴n＞1時，lnn=ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．

點評：本題考查了導數的綜合應用，同時考查了不等式的證明與恒成立問題，屬于難題．