Question

若關(guān)于x的不等式|x-1|＜ax的解集中恰好有兩個(gè)整數(shù)，則a的取值范圍是（　　）

• A、（

  1

  3

  ，

  2

  3

  ]
• B、（

  1

  2

  ，

  2

  3

  ]
• C、（

  2

  3

  ，1]
• D、（-1，0）

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由題意可得滿足（a+1）x＞1，且（1-a）x＜1的整數(shù)x共有2個(gè)，分類討論求得a的范圍．

解答： 解：由|x-1|＜ax，可得-ax＜x-1＜ax，∴（a+1）x＞1，且（1-a）x＜1．
①當(dāng)a＜-1時(shí)，則有x＜

1

a+1

，且x＜

1

1-a

，故 x＜

1

a+1

，顯然，x有無數(shù)多個(gè)，不滿足條件．
②當(dāng)a=-1時(shí)，則有0＞1且x＜

1

2

，不滿足條件．
③當(dāng)-1＜a＜1時(shí)，則有x＞

1

a+1

，且x＜

1

1-a

，由于x只有2個(gè)整數(shù)解，∴1＜

1

1-a

-

1

a+1

≤2，
求得

2

-1＜a≤

5 -1

2

．
代入2個(gè)a的端點(diǎn)值，可得不等式|x-1|＜ax的解集中的2個(gè)整數(shù)應(yīng)為1和2，∴0≤

1

a+1

＜1，且 3≥

1

1-a

＞2，
求得

1

2

＜a≤

2

3

．
④當(dāng)a=1時(shí)，滿足x＞

1

2

，顯然不止兩個(gè)整數(shù)解（舍去）．
⑤當(dāng)a＞1時(shí)，則有（a+1）x＞1，且（1-a）x＜1，∴然不止兩個(gè)整數(shù)解（舍去）．
綜上可得，得

1

2

＜a≤

2

3

，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．