Question

7．設x₁，x₂是函數f（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²-（a+$\frac{4}{a}$）x+1的兩個極值點，且x₁＜x₂，a＞0．
（Ⅰ）求證：x₁x₂為定值；
（Ⅱ）求f（x₁）+f（x₂）的取值范圍；
（Ⅲ）求f（x₂）-f（x₁）的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先確定函數f（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²-（a+$\frac{4}{a}$）x+1的定義域，再求導f′（x）=$\frac{1}{x}$+x-（a+$\frac{4}{a}$）=$\frac{{x}^{2}-（a+\frac{4}{a}）x+1}{x}$，從而由根與系數的關系可證明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=a+\frac{4}{a}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=1}\\{{x}_{2}＞{x}_{1}＞0}\end{array}\right.$，從而化簡f（x₁）+f（x₂）=ln（x₁x₂）+$\frac{1}{2}$（${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$）-（a+$\frac{4}{a}$）（x₁+x₂）+2=$\frac{1}{2}$[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]-（a+$\frac{4}{a}$）（x₁+x₂）+2
=-$\frac{1}{2}$（a+$\frac{4}{a}$）²+1；從而求值域；
（Ⅲ）由x₁x₂=1化簡f（x₂）-f（x₁）=2lnx₂-$\frac{1}{2}$（a+$\frac{4}{a}$）（x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$），（x₂＞1）；再令g（x）=2lnx-$\frac{1}{2}$（a+$\frac{4}{a}$）（x-$\frac{1}{x}$），從而可判斷g（x）=2lnx-$\frac{1}{2}$（a+$\frac{4}{a}$）（x-$\frac{1}{x}$）在（1，+∞）上是減函數；從而再由$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=4}\\{{x}_{1}{x}_{2}=1}\end{array}\right.$解得x₂=2+$\sqrt{3}$；即當且僅當a=$\frac{4}{a}$，即a=2時，x₂有最小值2+$\sqrt{3}$；從而解得．

解答 解：（Ⅰ）證明：f（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²-（a+$\frac{4}{a}$）x+1的定義域為（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$+x-（a+$\frac{4}{a}$）=$\frac{{x}^{2}-（a+\frac{4}{a}）x+1}{x}$，
令f′（x）=0得：x²-（a+$\frac{4}{a}$）x+1=0，由于a＞0，則△=（a+$\frac{4}{a}$）²-4＞0；
因為x₁，x₂是函數f（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²-（a+$\frac{4}{a}$）x+1的兩個極值點，
故x₁x₂=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=a+\frac{4}{a}}\\{{x}_{1}{x}_{2}=1}\\{{x}_{2}＞{x}_{1}＞0}\end{array}\right.$，
∴f（x₁）+f（x₂）=ln（x₁x₂）+$\frac{1}{2}$（${{x}_{1}}^{2}$+${{x}_{2}}^{2}$）-（a+$\frac{4}{a}$）（x₁+x₂）+2
=$\frac{1}{2}$[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]-（a+$\frac{4}{a}$）（x₁+x₂）+2
=-$\frac{1}{2}$（a+$\frac{4}{a}$）²+1≤-7（當且僅當a=$\frac{4}{a}$，即a=2時，等號成立）；
∴f（x₁）+f（x₂）的取值范圍為（-∞，-7]；
（Ⅲ）∵x₁x₂=1，
∴f（x₂）-f（x₁）=lnx₂+$\frac{1}{2}$x₂²-（a+$\frac{4}{a}$）x₂+1-（lnx₁+$\frac{1}{2}$x₁²-（a+$\frac{4}{a}$）x₁+1）
=2lnx₂-$\frac{1}{2}$（a+$\frac{4}{a}$）（x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$），（x₂＞1）；
令g（x）=2lnx-$\frac{1}{2}$（a+$\frac{4}{a}$）（x-$\frac{1}{x}$），
則g′（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{2}$（a+$\frac{4}{a}$）（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）
=-$\frac{（a+\frac{4}{a}）{x}^{2}-4x+a+\frac{4}{a}}{2{x}^{2}}$≤0，
故g（x）=2lnx-$\frac{1}{2}$（a+$\frac{4}{a}$）（x-$\frac{1}{x}$）在（1，+∞）上是減函數；
當且僅當a=$\frac{4}{a}$，即a=2時，
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=4}\\{{x}_{1}{x}_{2}=1}\end{array}\right.$解得：x₂=2+$\sqrt{3}$；
即當且僅當a=$\frac{4}{a}$，即a=2時，x₂有最小值2+$\sqrt{3}$；
此時f（x₂）-f（x₁）有最大值為2ln（2+$\sqrt{3}$）-2（2+$\sqrt{3}$-（2-$\sqrt{3}$））
=2ln（2+$\sqrt{3}$）-4$\sqrt{3}$．

點評 本題為導數、不等式的綜合，主要考查導數的應用，考查考生的計算能力及分析問題、解決問題的能力、化歸與轉化思想．