Question

16．如圖，在直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC，∠BAC=90°，AB=$\sqrt{3}$，BC=1，AD=AA₁=3．
（1）求證：AC⊥平面BB₁D；
（2）求二面角B-B₁D-C的余弦值；
（3）試判斷線段CD₁上是否存在點(diǎn)P，使A₁P∥平面B₁CD，若存在，請確定點(diǎn)P的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明AC⊥平面BB₁D；
（2）建立空間坐標(biāo)系，利用向量法即可求二面角B-B₁D-C的余弦值；
（3）根據(jù)線面平行的判定定理以及向量法進(jìn)行判斷即可．

解答 證明：（1）易知，AB，AD，AA₁兩兩垂直，
如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA₁，所在的直線分別為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），B₁（$\sqrt{3}$，0，3），C（$\sqrt{3}$，1，0），D（0，3，0），D₁（0，3，3），
故$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{BD}$=（-$\sqrt{3}$，3，0），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，3），
∵$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=0，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=0，
∴AC⊥BD，AC⊥BB₁，
∵BD∩BB₁=B，BD?平面BB₁D，BB₁?平面BB₁D，
∴AC⊥平面BB₁D；
（2）∵$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（0，1，-3），$\overrightarrow{CD}$=（-$\sqrt{3}$，2，0），
∴設(shè)平面B₁DC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{B}_{1}C}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{y-3z=0}\\{-\sqrt{3}x+2y=0}\end{array}\right.$，
令y=1，
$\overrightarrow{n}$=$（\frac{2\sqrt{3}}{3}，1，\frac{1}{3}）$，
∵AC⊥平面BB₁D，
∴$\overrightarrow{AC}=（\sqrt{3}，1，0）$為平面BB₁D的一個(gè)法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{AC}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{AC}|}$=$\frac{3}{\sqrt{22}}=\frac{9\sqrt{22}}{44}$，
故二面角B-B₁D-C的余弦值為$\frac{9\sqrt{22}}{44}$．
（3）不存在，
假設(shè)線段CD₁上存在點(diǎn)P，使A₁P∥平面B₁CD，
設(shè)$\overrightarrow{{D}_{1}P}$=λ$\overrightarrow{{D}_{1}C}$，λ∈[0，1），
∵$\overrightarrow{{D}_{1}C}$=（$\sqrt{3}，-2，-3$），
∴$\overrightarrow{{D}_{1}P}$=（$\sqrt{3}λ$，-2λ，-3λ），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}P}$=$\overrightarrow{{A}_{1}{D}_{1}}+\overrightarrow{{D}_{1}P}$=（$\sqrt{3}λ$，3-2λ，-3λ），
要使A₁P∥平面B₁CD，
∴$\overrightarrow{{A}_{1}P}•\overrightarrow{n}=0$，
即$\frac{2\sqrt{3}}{3}×\sqrt{3}λ+3-2λ-λ=0$，
解得λ=3∉[0，1），
∴線段CD₁上不存在點(diǎn)P，使A₁P∥平面B₁CD．

點(diǎn)評 本題主要考查空間線面平行和線面垂直的判定，以及二面角的求解，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理，利用向量法是解決二面角的常用方法．考查學(xué)生的運(yùn)算能力．