Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，左右焦點分別為F₁、F₂，點A（2，$\sqrt{3}$），點F₂在線段AF₁的中垂線上．
（1）求橢圓C的方程．
（2）點M在圓x²+y²=b²上，且M在第一象限，過M作圓x²+y²=b²的切線交橢圓于P、Q兩點，求△PF₂Q的周長．

Answer 1

分析 （1）設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），由點F₂在線段AF₁的中垂線上，即有|AF₂|=|F₁F₂|，運用兩點的距離公式計算可得c=1，再由離心率公式和a，b，c的關(guān)系，可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分別求出|F₂P|，|F₂Q|，結(jié)合相切的條件可得|PM|²=|OP|²-|OM|²
求出|PQ|，可得結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
點F₂在線段AF₁的中垂線上，即有|AF₂|=|F₁F₂|，
（c-2）²+3=4c²，解得c=1（負(fù)值舍去），
由e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$可得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即有a=$\sqrt{2}$，
b=1，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{2}$+y₁²=1（|x₁|≤$\sqrt{2}$）
∴|PF₂|²=（x₁-1）²+y₁²=$\frac{1}{2}$（x₁-2）²，
∴|PF₂|=$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₁，
連接OM，OP，由相切條件知：
|PM|²=|OP|²-|OM|²=x₁²+y₁²-1=$\frac{1}{2}$x₁²，
∴|PM|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x₁，
∴|PF₂|+|PM|=$\sqrt{2}$，
同理可求|QF₂|+|QM|=$\sqrt{2}$，
∴|F₂P|+|F₂Q|+|PQ|=2$\sqrt{2}$．
即有△PF₂Q的周長為2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查的知識點是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，直線與橢圓的位置關(guān)系，熟練掌握橢圓的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．