Question

關(guān)于x的不等式

x+1

≤ax+1，對一切實(shí)數(shù)x∈Z⁺恒成立，則a的取值范圍

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：由關(guān)于x的不等式

x+1

≤ax+1對一切實(shí)數(shù)x∈Z⁺恒成立，得到

ax+1＞0 x+1≤(ax+1)2

，轉(zhuǎn)化為二次不等式后分二次項(xiàng)系數(shù)為0和不為0分析，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不等于0時(shí)分判別式小于0和對稱軸在x=1或其左側(cè)，且x=1時(shí)的函數(shù)值大于等于0列不等式組求解，最后去并集得答案．

解答： 解：要使原不等式有意義，則x+1≥0，即x≥-1，
要使不等式

x+1

≤ax+1對一切實(shí)數(shù)x∈Z⁺恒成立，
則

ax+1＞0 x+1≤(ax+1)2

，整理得，

a＞- 1 x a2x2+(2a-1)x≥0

．
∵x∈Z⁺，
∴a＞-

1

x

≥0．
當(dāng)a=0時(shí)，不等式a²x²+（2a-1）x≥0對于任意x∈Z⁺不成立；
當(dāng)a＞0時(shí)，要使不等式a²x²+（2a-1）x≥0對于任意x∈Z⁺恒成立，則
（2a-1）²=0或

- 2a-1 2a2 ≤1 a2+2a-1≥0

．
解得：a=

1

2

或a≥

2

-1．
∴a≥

2

-1．
故答案為：a≥

2

-1．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用“三個(gè)二次”結(jié)合求變量的范圍，是中檔題．