Question

已知函數(shù)f（x）=

|x|

x+2

．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）-kx²（k∈R）有四個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）在區(qū)間（0，+∞）上，根據(jù)函數(shù)f（x）=1-

2

x+2

，可得函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）-kx²（k∈R）有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則

|x|

x+2

-kx²=0 ①有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．再分（1）當(dāng)x=0時(shí)、（2）當(dāng)x＜0且 x≠-2時(shí)、（3）當(dāng)x＞0時(shí)三種情況，分別求出方程的根，綜合可得方程①有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的條件．

解答： 解：（Ⅰ）∵在區(qū)間（0，+∞）上，函數(shù)f（x）=

x

x+2

=

x+2-2

x+2

=1-

2

x+2

，
故函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)．
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）-kx²（k∈R）有四個(gè)不同的零點(diǎn)，
則

|x|

x+2

-kx²=0 ①有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．
（1）當(dāng)x=0時(shí)，不論k取何值，方程①恒成立，即x=0恒為方程①的一個(gè)實(shí)數(shù)解．
（2）當(dāng)x＜0且 x≠-2時(shí)，方程①有實(shí)數(shù)根，即-

x

x+2

-kx²=0 有實(shí)數(shù)根，即 kx²+2kx+1=0 ②有實(shí)數(shù)根．
若k=0，則②無實(shí)數(shù)根；若k≠0，則由△=4k²-4k≥0，求得k＜0，或 k≥1．
設(shè)方程②的2個(gè)根分別為x₁、x₂，則x₁+x₂=-2，x₁•x₂=

1

k

．
顯然，當(dāng)k＞1時(shí)，方程②有2個(gè)不等負(fù)實(shí)數(shù)根；當(dāng)k=1時(shí)，方程②有2個(gè)相等的負(fù)實(shí)數(shù)根；
當(dāng)k＜0時(shí)，方程②有2個(gè)不等實(shí)數(shù)根，由x₁+x₂=-2、x₁•x₂=

1

k

＜0，可得方程②有一個(gè)負(fù)實(shí)數(shù)根（正根舍去）．
（3）當(dāng)x＞0時(shí)，由方程①有實(shí)根，方程①化為kx²+2kx-1=0 ③．
若k=0，方程③無實(shí)根；若k≠0，當(dāng)△=4k²-4k≥0，求得k＞0，或 k≤-1時(shí)，方程③有實(shí)根，
設(shè)方程③的2個(gè)實(shí)根分別為x₃、x₄，則x₃+x₄=-2，x₃•x₄=-

1

k

．
當(dāng)k＞0時(shí)，△＞0，方程③有2個(gè)不相等實(shí)根，由x₃•x₄=-

1

k

＜0 可得這2個(gè)根異號，舍去負(fù)根，
∴方程③有一個(gè)正實(shí)數(shù)根．
當(dāng)k≤-1，由x₃+x₄=-2，x₃•x₄=-

1

k

＞0可得方程③沒有正實(shí)數(shù)根．
綜上可得，只有當(dāng)k＞1時(shí)，方程①才有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)g（x）有4個(gè)不同的零點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)和方程的根的關(guān)系，方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．