【題目】已知橢圓過點，右焦點是拋物線的焦點.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知動直線過右焦點，且與橢圓分別交于，兩點.試問軸上是否存在定點，使得恒成立?若存在求出點的坐標:若不存在，說明理由.

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

(1) 由橢圓過點，得，由拋物線的焦點為，得，利用即可求解a則方程可求；（2）假設(shè)在軸上存在定點，當直線的斜率不存在時，由，解得或；當直線的斜率為0時，由，解得或，可得，得點的坐標為.再證明當時恒成立. 設(shè)直線的斜率存在且不為0時，其方程為，與橢圓聯(lián)立消去y得韋達定理,向量坐標化得整理代入韋達定理即可

（1）因為橢圓過點，所以，

又拋物線的焦點為，所以.

所以，解得（舍去）或.

所以橢圓的方程為.

（2）假設(shè)在軸上存在定點，使得.

①當直線的斜率不存在時，則，，，，

由，解得或；

②當直線的斜率為0時，則，，，，

由，解得或.

由①②可得，即點的坐標為.

下面證明當時，恒成立.

當直線的斜率不存在或斜率為0時，由①②知結(jié)論成立.

當直線的斜率存在且不為0時，設(shè)其方程為，，.直線與橢圓聯(lián)立得，

直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點，一定與橢圓有兩個交點，且，.

，

所以

恒成立

綜上所述，在軸上存在點，使得恒成立.

練習冊系列答案
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