Question

2．空間四邊形ABCD中，對角線AC，BD與各邊長均為1，O為△BCD的重心，M是AC的中點，E是AO的中點，求異面直線OM與BE所成的角為$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 連接BO并延長，交CD于F，以F為坐標原點建立空間坐標系，求出異面直線OM與BE的方向向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解答 解：∵空間四邊形ABCD中，各邊長均為1，
故ABCD為正四面體，
連接BO并延長，交CD于F，
以F為坐標原點建立如圖所示的空間坐標系：

則F（0，0，0），B（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），O（0，$\frac{\sqrt{3}}{6}$，0），A（0，$\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$），
E（0，$\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$），C（$\frac{1}{2}$，0，0），M（$\frac{1}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{12}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$），
∴$\overrightarrow{OM}$=（$\frac{1}{4}$，-$\frac{\sqrt{3}}{12}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$），$\overrightarrow{BE}$=（0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$），
設(shè)異面直線OM與BE所成的角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{BE}|}{\left|\overrightarrow{OM}\right|•\left|\overrightarrow{BE}\right|}$=$\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故異面直線OM與BE所成的角為：$\frac{π}{4}$，
故答案為：$\frac{π}{4}$．

點評 本題考查的知識點是空間異面直線的夾角，建立空間坐標系，將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為向量夾角，是解答的關(guān)鍵．